Ułamki zwykłe mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik, a dzielimy, mnożąc przez odwrotność dzielnika. To dwie najprostsze reguły w całej arytmetyce ułamków – nie trzeba tu żadnego wspólnego mianownika.
Reguły
| Działanie | Reguła | Przykład |
|---|---|---|
| Mnożenie | $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ | $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$ |
| Dzielenie | mnożymy przez odwrotność | $\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$ |
Odwrotność to ułamek z zamienionymi miejscami licznikiem i mianownikiem. Odwrotnością $\frac{4}{9}$ jest $\frac{9}{4}$, odwrotnością $6$ jest $\frac{1}{6}$. Iloczyn liczby i jej odwrotności zawsze daje $1$.
Skracanie przed mnożeniem
Zanim pomnożysz, poszukaj wspólnych dzielników na krzyż. To oszczędza pracy: w działaniu $\frac{8}{15} \cdot \frac{5}{12}$ skracamy $8$ z $12$ przez $4$ oraz $5$ z $15$ przez $5$, zostaje $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$. Mnożenie bez skracania dałoby $\frac{40}{180}$ – ten sam wynik, ale z ułamkiem, który i tak trzeba skrócić.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1. Oblicz $2\frac{1}{3} \cdot 1\frac{2}{7}$.
Liczby mieszane zawsze zamieniamy najpierw na niewłaściwe: $\frac{7}{3} \cdot \frac{9}{7}$. Skracamy siódemki i trójkę z dziewiątką: zostaje $1 \cdot 3 = 3$.
Przykład 2. Oblicz $0{,}6 \cdot 0{,}25$.
Mnożymy jak liczby całkowite: $6 \cdot 25 = 150$. Czynniki mają razem trzy cyfry po przecinku, więc wynik to $0{,}150 = 0{,}15$.
Przykład 3. Oblicz $\frac{5}{8} : 2$.
Odwrotnością $2$ jest $\frac{1}{2}$, zatem $\frac{5}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{16}$.
Przykład 4. Wstążka ma $4{,}5$ metra. Ile kokardek po $\frac{3}{4}$ metra można z niej zrobić?
Dzielimy $4{,}5 : \frac{3}{4}$. Zamieniamy $4{,}5$ na $\frac{9}{2}$ i mnożymy przez odwrotność: $\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{36}{6} = 6$. Wyjdzie sześć kokardek.
Typowe błędy
- Szukanie wspólnego mianownika przed mnożeniem – to niepotrzebne i tylko komplikuje rachunek.
- Odwracanie niewłaściwego ułamka przy dzieleniu: odwracamy dzielnik, nigdy dzielną.
- Mnożenie liczb mieszanych „całości razy całości, ułamek razy ułamek” – trzeba je najpierw zamienić na niewłaściwe.
- Zgubienie liczby miejsc po przecinku przy mnożeniu ułamków dziesiętnych.
Po co to się przydaje
Mnożenie przez ułamek to w praktyce liczenie części całości – a więc dokładnie to, co robi się przy procentach, skali mapy i przelicznikach jednostek. Dzielenie przez ułamek odpowiada na pytanie „ile razy to się mieści”, które wraca przy każdym zadaniu o porcjach, odcinkach i prędkościach.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Liczby i działania”.
Zadania
Zadanie 1
Oblicz w pamięci.
Zadanie 2
Zapisz podane wielkości we wskazanych jednostkach.
Zadanie 3
Oblicz sposobem pisemnym.
Zadanie 4
Wykonaj obliczenia.
Jednostka μm to mikrometr, nazywany też mikronem.
Zadanie 5
Oblicz.
aa) $84{,}06\cdot\frac{1}{10000}$
ab) $2084{,}03:0{,}1$
ac) $0{,}0238:\frac{1}{10}$
ad) $35{,}81:0{,}001$
ae) $\frac{3{,}58}{100}$
af) $\frac{0{,}09}{100}$
Zadanie 6
Rozwiąż poniższe zadania, obliczając najpierw wielkość przypadającą na jedną jednostkę.
Zadanie 7
Trzy urządzenia zapisują jedną porcję danych w różnym czasie: urządzenie A w $0{,}008$ s, urządzenie B w $0{,}00004$ s, a urządzenie C w $0{,}0000002$ s.
Zadanie 8
Model hali wykonano w skali $1:500$. Długość hali na modelu wynosi $12{,}6$ cm. Oblicz rzeczywistą długość hali i podaj ją w centymetrach, metrach oraz kilometrach.
Zadanie 9
Maszyna wyprodukowała $80000$ elementów. Na każde $100$ elementów zużywała średnio $3{,}6$ kWh energii elektrycznej. Ile kilowatogodzin energii zużyła na całą produkcję?
Zadanie 10
Biblioteka otrzymała $336$ książek. Książki obcojęzyczne stanowiły $\frac{3}{7}$ całego zbioru, a $\frac{5}{8}$ książek obcojęzycznych było powieściami. Ile obcojęzycznych powieści otrzymała biblioteka?
Zadanie 11
Pracownia przeznaczyła $\frac{7}{12}$ całej długości tkaniny na osiem jednakowych zasłon. Z pozostałej tkaniny uszyto pięć jednakowych obrusów. Na każdą zasłonę zużyto tyle samo tkaniny, podobnie na każdy obrus. Na co zużyto dłuższy kawałek tkaniny: na jedną zasłonę czy na jeden obrus?