Graniastosłup to bryła, która ma dwie jednakowe, równoległe podstawy będące wielokątami, a jego ściany boczne są równoległobokami. Nazwę bierze od podstawy: graniastosłup trójkątny ma w podstawie trójkąt, sześciokątny – sześciokąt.
Elementy graniastosłupa
- Podstawy – dwa przystające wielokąty leżące w równoległych płaszczyznach.
- Ściany boczne – łączą podstawy; jest ich tyle, ile boków ma podstawa.
- Krawędzie boczne – odcinki łączące odpowiadające sobie wierzchołki podstaw; wszystkie są równoległe i równej długości.
- Wysokość – odległość między podstawami.
Prosty czy pochyły
W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, a ściany boczne to prostokąty. Wtedy wysokość równa się długości krawędzi bocznej. W graniastosłupie pochyłym krawędzie są nachylone, ściany boczne to równoległoboki, a wysokość jest krótsza od krawędzi.
Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny. Prostopadłościan to graniastosłup prosty o podstawie prostokątnej, a sześcian – o wszystkich krawędziach równych.
Ile czego ma graniastosłup $n$-kątny
| Element | Liczba | Skąd |
|---|---|---|
| wierzchołki | $2n$ | po $n$ w każdej podstawie |
| krawędzie | $3n$ | $n$ w każdej podstawie plus $n$ bocznych |
| ściany | $n + 2$ | $n$ bocznych plus 2 podstawy |
Przykłady
1. Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma graniastosłup siedmiokątny?
Podstawiamy $n = 7$: wierzchołków $2 \cdot 7 = 14$, krawędzi $3 \cdot 7 = 21$, ścian $7 + 2 = 9$.
2. Graniastosłup ma 30 krawędzi. Jaki to graniastosłup?
Z wzoru $3n = 30$ wynika $n = 10$. To graniastosłup dziesiątkątny.
3. Graniastosłup ma 12 ścian. Ile ma wierzchołków?
Z $n + 2 = 12$ mamy $n = 10$. Wierzchołków: $2 \cdot 10 = 20$.
4. Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 64 cm, a krawędź podstawy ma 6 cm. Ile mierzy krawędź boczna?
Krawędzi podstaw jest 8 (po 4 w każdej): $8 \cdot 6 = 48$ cm. Na 4 krawędzie boczne zostaje $64 – 48 = 16$ cm, czyli każda ma $16 : 4 = 4$ cm.
Typowe błędy
- Mylenie liczby ścian z liczbą ścian bocznych – podstawy też są ścianami.
- Zakładanie, że w każdym graniastosłupie ściany boczne to prostokąty – to prawda tylko dla graniastosłupów prostych.
- Mylenie graniastosłupa prawidłowego z prostym: prawidłowy musi mieć w podstawie wielokąt foremny.
Po co to się przydaje
Graniastosłupy są wszędzie: pudełka, cegły, słupy, opakowania. Umiejętność liczenia ich krawędzi to podstawa przy planowaniu konstrukcji z profili, ram czy stelaży – każda krawędź to kawałek materiału, który trzeba kupić i przyciąć.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Graniastosłupy”.