Trójkąty

$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$

Skąd to wiadomo? Poprowadźmy przez wierzchołek $C$ prostą równoległą do boku $AB$. Powstają przy niej trzy kąty, które razem tworzą kąt półpełny. Skrajne dwa to kąty naprzemianległe do $\alpha$ i $\beta$, więc są im równe, a środkowy to $\gamma$. Stąd $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Dwa wnioski, z których często się korzysta:

• Jeśli znasz dwa kąty trójkąta, trzeci wyliczasz od razu: $180^\circ$ minus te dwa.
• W trójkącie prostokątnym jeden kąt ma $90^\circ$, więc dwa pozostałe dają razem $90^\circ$.
• Trójkąt może mieć najwyżej jeden kąt prosty i najwyżej jeden rozwarty – dwa takie kąty przekroczyłyby już $180^\circ$.

Gdy przedłużymy bok trójkąta poza wierzchołek, powstaje kąt zewnętrzny – przyległy do kąta trójkąta przy tym wierzchołku.

Kąt zewnętrzny można policzyć na dwa sposoby – oba dają to samo:

• jako kąt przyległy: $\delta = 180^\circ-\beta$;
• jako sumę dwóch pozostałych kątów trójkąta: $\delta = \alpha + \gamma$.

Drugi wzór wynika z pierwszego, bo $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, czyli $\alpha + \gamma = 180^\circ-\beta$. Warto go znać, bo skraca wiele zadań: jeżeli na rysunku widzisz przedłużony bok, kąt zewnętrzny jest po prostu sumą dwóch „dalszych” kątów trójkąta.

Z trzech dowolnych odcinków nie zawsze da się zbudować trójkąt. Musi być spełniony warunek: każdy bok jest krótszy od sumy dwóch pozostałych.

$$a \lt b + c \qquad b \lt a + c \qquad c \lt a + b$$

W praktyce wystarczy sprawdzić jeden warunek – czy suma dwóch krótszych odcinków jest większa od najdłuższego. Jeśli tak, trójkąt istnieje.

Widać dlaczego: gdy dwa krótsze boki są razem krótsze od najdłuższego, ich końce nie mają szans się spotkać.

Z warunku trójkąta wynika też, w jakim przedziale musi się zmieścić trzeci bok. Jeśli dwa boki mają 3 i 5, to trzeci musi być większy od $5-3 = 2$ i mniejszy od $5 + 3 = 8$.

W trójkącie równoramiennym dwa równe boki to ramiona, a trzeci bok to podstawa. Kąty przy podstawie są równe – i odwrotnie: jeśli dwa kąty trójkąta są równe, to trójkąt jest równoramienny. W równobocznym każdy kąt ma $60^\circ$ (bo $180^\circ : 3 = 60^\circ$).

Wysokość trójkąta

Wysokość to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do prostej zawierającej przeciwległy bok. Każdy trójkąt ma trzy wysokości – po jednej z każdego wierzchołka – i w trójkącie ostrokątnym przecinają się one w jednym punkcie wewnątrz figury.

W trójkącie prostokątnym dwie wysokości to po prostu przyprostokątne. W trójkącie rozwartokątnym dwie wysokości padają poza trójkąt – trzeba wtedy przedłużyć bok, żeby był gdzie postawić kąt prosty.

1. Czy z odcinków 4 cm, 6 cm i 11 cm zbudujesz trójkąt?

Suma dwóch krótszych: $4 + 6 = 10$. Najdłuższy ma 11. Skoro $10 \lt 11$, trójkąta nie da się zbudować.

2. Dwa kąty trójkąta mają $47^\circ$ i $68^\circ$. Ile ma trzeci?

$180^\circ-47^\circ-68^\circ = 65^\circ$.

3. W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami ma $34^\circ$. Jakie miary mają kąty przy podstawie?

Na dwa równe kąty zostaje $180^\circ-34^\circ = 146^\circ$. Każdy z nich ma $146^\circ : 2 = 73^\circ$.

4. Kąty trójkąta mają się do siebie jak $2 : 3 : 4$. Oblicz je.

Razem to 9 równych części: $180^\circ : 9 = 20^\circ$ na część. Kąty: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$, $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$, $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$. Sprawdzenie: $40 + 60 + 80 = 180$.

5. Kąt zewnętrzny trójkąta przy wierzchołku $B$ ma $130^\circ$, a kąt przy $A$ ma $45^\circ$. Ile mają pozostałe kąty trójkąta?

Kąt wewnętrzny przy $B$: $180^\circ-130^\circ = 50^\circ$. Kąt przy $C$: $180^\circ-45^\circ-50^\circ = 85^\circ$. Sprawdzenie drugim wzorem: $45^\circ + 85^\circ = 130^\circ$. Zgadza się.

6. Dwa boki trójkąta mają 4 cm i 10 cm. Jakiej długości może być trzeci bok?

Musi być większy od $10-4 = 6$ cm i mniejszy od $10 + 4 = 14$ cm. Czyli mieści się między 6 cm a 14 cm (same 6 i 14 odpadają – wtedy trójkąt spłaszczyłby się do odcinka).

7. W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma $40^\circ$. Jakie mogą być pozostałe kąty?

Są dwie możliwości. Jeśli $40^\circ$ to kąt przy podstawie, drugi kąt przy podstawie też ma $40^\circ$, a kąt między ramionami $180^\circ-80^\circ = 100^\circ$. Jeśli $40^\circ$ to kąt między ramionami, kąty przy podstawie mają po $(180^\circ-40^\circ) : 2 = 70^\circ$. Przy takim pytaniu zawsze trzeba sprawdzić oba warianty.

• Sprawdzanie warunku trójkąta tylko dla jednej pary boków, ale nie tej właściwej – zawsze porównuj sumę dwóch krótszych z najdłuższym.
• W trójkącie równoramiennym mylenie kąta między ramionami z kątem przy podstawie – to zwykle różne kąty; gdy treść nie mówi, który to który, rozpatrz oba przypadki.
• Zapominanie o zamianie jednostek: odcinki 70 cm, 0,7 m i 1 m to nie to samo, co 70, 0,7 i 1.
• Branie kąta zewnętrznego za kąt trójkąta. Kąt zewnętrzny leży poza trójkątem i jest przyległy do wewnętrznego – dopiero po odjęciu od $180^\circ$ wchodzi do sumy $180^\circ$.
• Rysowanie wysokości „na oko” zamiast prostopadle albo szukanie jej wewnątrz trójkąta rozwartokątnego, gdzie trzeba przedłużyć bok.

Trójkąt to najsztywniejsza figura – dlatego widać go w kratownicach mostów, dachach i wieżach. Warunek trójkąta wykorzystują geodeci i nawigacja: jeśli trzy zmierzone odległości go nie spełniają, w pomiarze jest błąd.