Przekształcanie wzorów

Wzór to równanie z kilkoma literami. Jeśli chcemy wyznaczyć $h$ ze wzoru $P = a \cdot h$, to $a$ traktujemy jak liczbę i dzielimy obie strony przez nią: $$h = \frac{P}{a}$$ Dozwolone kroki są te same co przy równaniach: dodawanie i odejmowanie tego samego po obu stronach, mnożenie i dzielenie przez to samo (różne od zera).

Dochodzą dwie drobne, ale przydatne swobody:

• Wolno zamienić strony miejscami. Jeśli wyszło $\frac{z-a}{3} = b$, zapisujemy to jako $b = \frac{z-a}{3}$ – wzór czyta się wygodniej, gdy wyznaczana litera stoi z lewej.
• Wolno przenosić wyrażenia na drugą stronę ze zmianą znaku – tak samo jak w równaniach.

Pełny przykład – ze wzoru $z = a + 3b$ wyznaczamy $b$:

$$z = a + 3b \quad |\,-a$$

$$z-a = 3b \quad | : 3$$

$$\frac{z-a}{3} = b \quad \text{czyli} \quad b = \frac{z-a}{3}$$

Gdy nie masz pewności, czy wynik jest dobry, podstaw liczby. Weź $a = 2$ i $b = 4$; wtedy $z = 2 + 12 = 14$. Sprawdzamy nowy wzór: $\frac{14-2}{3} = 4$. Zgadza się.

Dzieląc przez literę, musimy założyć, że nie jest ona zerem. Przy wzorze $h = \frac{P}{a}$ zapisujemy założenie $a \neq 0$. W geometrii to zwykle oczywiste – bok figury nie może mieć długości zero – ale w rachunkach warto o tym pamiętać.

Założenia pojawiają się w dwóch momentach:

• Gdy dzielimy obie strony przez wyrażenie z literą. Wtedy dopisujemy, że to wyrażenie jest różne od zera. Dzieląc przez $R$, zapisujemy „zał. $R \neq 0$”; dzieląc przez $c + d$ – „zał. $c + d \neq 0$”.
• Gdy litera stoi w mianowniku już we wzorze wyjściowym. Wtedy założenie obowiązuje od początku, bo dzielenie przez zero nie ma sensu. We wzorze $g = \frac{c}{z-3}$ z góry wiadomo, że $z \neq 3$.

Założenie zapisujemy obok kroku, w którym go użyliśmy – dokładnie tak, jak zapisujemy sam krok:

$$V = a \cdot b \cdot c \quad | : ab \quad (\text{zał. } a \neq 0, \; b \neq 0)$$

$$c = \frac{V}{ab}$$

To najtrudniejszy przypadek i jednocześnie ten, który najczęściej pojawia się w zadaniach. Postępujemy w trzech krokach:

1. usuwamy ułamki i nawiasy, żeby zobaczyć wszystkie miejsca z szukaną literą;
2. zbieramy wszystkie wyrazy z tą literą po jednej stronie, a resztę po drugiej;
3. wyciągamy szukaną literę przed nawias i dzielimy przez to, co zostało w nawiasie.

Przykład: ze wzoru $R = \frac{w}{a-b}$ wyznacz $a$.

$$R = \frac{w}{a-b} \quad | \cdot (a-b) \quad (\text{zał. } a \neq b)$$

$$R(a-b) = w$$

$$Ra-Rb = w \quad | + Rb$$

$$Ra = w + Rb \quad | : R \quad (\text{zał. } R \neq 0)$$

$$a = \frac{w + Rb}{R}$$

Drugi przykład z wyciąganiem przed nawias: ze wzoru $z(c + d) + 2 = n$ wyznacz $z$.

$$z(c + d) + 2 = n \quad |\,-2$$

$$z(c + d) = n-2 \quad | : (c + d) \quad (\text{zał. } c + d \neq 0)$$

$$z = \frac{n-2}{c + d}$$

Trzeci – litera w mianowniku i poza nim: ze wzoru $u = \frac{b-2}{z + 4}$ wyznacz $z$.

$$u = \frac{b-2}{z + 4} \quad | \cdot (z + 4) \quad (\text{zał. } z \neq -4)$$

$$u(z + 4) = b-2$$

$$uz + 4u = b-2 \quad |\,-4u$$

$$uz = b-2-4u \quad | : u \quad (\text{zał. } u \neq 0)$$

$$z = \frac{b-2-4u}{u}$$

Uwaga na potęgi. Ze wzoru $E = \frac{mv^2}{2}$ wyznaczymy masę bez trudu: $2E = mv^2$, więc $m = \frac{2E}{v^2}$ (zał. $v \neq 0$). Ale wyznaczenie z tego wzoru prędkości $v$ wymagałoby pierwiastkowania – litery pod kwadratem nie da się „przenieść” dzieleniem.

W zadaniach często trzeba najpierw napisać wzór, a dopiero potem go przekształcić. Warto mieć pod ręką rysunek – widać na nim, która litera co oznacza.

Pole trapezu: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$. Wyznaczmy z tego wysokość:

$$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \quad | \cdot 2$$

$$2P = (a + b)h \quad | : (a + b) \quad (\text{zał. } a + b \neq 0)$$

$$h = \frac{2P}{a + b}$$

A gdybyśmy chcieli wyznaczyć podstawę $a$: $\frac{2P}{h} = a + b$, więc $a = \frac{2P}{h}-b$ (zał. $h \neq 0$).

Romb ma cztery jednakowe boki, więc jego obwód to $L = 4a$, czyli $a = \frac{L}{4}$. Pole liczymy jak w równoległoboku: $P = a \cdot h$. Podstawiamy jedno do drugiego:

$$P = \frac{L}{4} \cdot h \quad | \cdot 4$$

$$4P = Lh \quad | : L \quad (\text{zał. } L \neq 0)$$

$$h = \frac{4P}{L}$$

Teraz wysokość rombu policzysz, znając samo pole i obwód – bez mierzenia boku.

1. Ze wzoru na drogę $s = v \cdot t$ wyznacz prędkość $v$. Dzielimy obie strony przez $t$ (zakładając $t \neq 0$): $$v = \frac{s}{t}$$

2. Ze wzoru na pole trójkąta $P = \frac{1}{2}ah$ wyznacz wysokość $h$. Mnożymy obie strony przez 2: $2P = ah$. Dzielimy przez $a$: $$h = \frac{2P}{a}$$

3. Ze wzoru $Ob = 2a + 2b$ wyznacz $b$. Przenosimy $2a$ na lewo: $Ob-2a = 2b$. Dzielimy przez 2: $$b = \frac{Ob-2a}{2}$$

4. Ze wzoru na pole trapezu $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ wyznacz $a$. Mnożymy przez 2: $2P = (a + b)h$. Dzielimy przez $h$: $\frac{2P}{h} = a + b$. Przenosimy $b$: $$a = \frac{2P}{h}-b$$

5. Ze wzoru $W = 4(c + 3z)$ wyznacz $z$. Dzielimy przez 4: $\frac{W}{4} = c + 3z$. Przenosimy $c$: $\frac{W}{4}-c = 3z$. Dzielimy przez 3: $$z = \frac{\frac{W}{4}-c}{3} = \frac{W-4c}{12}$$

6. Opłatę za kajak liczy się ze wzoru $K = 15 + 9t$, gdzie $t$ to liczba godzin. Wyznacz $t$ i oblicz, ile godzin pływał turysta, który zapłacił 69 zł. Przenosimy 15: $K-15 = 9t$, więc $t = \frac{K-15}{9}$. Dla $K = 69$: $t = \frac{54}{9} = 6$. Pływał 6 godzin.

7. Uczeń ze wzoru $s = vt$ wyznaczył $t$ i zapisał $t = \frac{v}{s}$. Czy dobrze? Nie – trzeba podzielić przez $v$, a nie przez $s$, więc poprawnie jest $t = \frac{s}{v}$. Szybkie sprawdzenie liczbami: dla $v = 2$ i $t = 3$ mamy $s = 6$; wzór ucznia dałby $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, a nie 3.

8. Liczby $W$, $m$, $t$ są dodatnie i $W = \frac{m}{t}$. Wyznacz $t$. Mnożymy przez $t$: $Wt = m$. Dzielimy przez $W$: $t = \frac{m}{W}$.

• Dzielenie tylko części wzoru. Z $Ob = 2a + 2b$ nie wynika $b = \frac{Ob}{2} + 2a$ – trzeba najpierw przenieść, potem podzielić całą stronę.
• Skracanie „przez sumę”: w $\frac{2P-a}{a}$ nie wolno skrócić $a$ z licznika i mianownika, bo licznik jest sumą.
• Podzielenie przez złą literę: z $s = vt$ wyznaczając $t$, dzielimy przez $v$, nie przez $s$.
• Zostawienie szukanej litery po obu stronach. Jeśli po przekształceniu $z$ jest i z lewej, i z prawej, zadanie nie jest skończone – trzeba zebrać wyrazy i wyciągnąć $z$ przed nawias.
• Pominięcie założenia o mianowniku różnym od zera.
• Próba „przeniesienia” litery spod kwadratu przez dzielenie. Z $E = \frac{mv^2}{2}$ wyznaczysz $m$, ale nie $v$.

Fizyka i chemia opierają się na wzorach, które trzeba umieć odwracać: wzór na drogę służy też do liczenia czasu i prędkości. Zamiast uczyć się trzech wzorów, wystarczy znać jeden i umieć go przekształcić.