Podwyżki i obniżki

Przejdź do zadań

Podwyżka o $p\%$ oznacza pomnożenie ceny przez $1 + \frac{p}{100}$, a obniżka o $p\%$ – przez $1 – \frac{p}{100}$. Jeden mnożnik zamiast dwóch kroków – dlatego warto liczyć właśnie tak.

Teoria: 5 sekcji, kliknij nagłówek, aby rozwinąć

Mnożniki

Zmiana	Mnożnik	Przykład dla $200$ zł
podwyżka o $20\%$	$1{,}2$	$240$ zł
obniżka o $20\%$	$0{,}8$	$160$ zł
podwyżka o $5\%$	$1{,}05$	$210$ zł
obniżka o $30\%$	$0{,}7$	$140$ zł

Można też liczyć dwuetapowo: policzyć zmianę i dodać ją (albo odjąć) od ceny wyjściowej. Wynik będzie ten sam, ale przy kilku kolejnych zmianach mnożniki są znacznie wygodniejsze.

Uwaga: dwie zmiany nie sumują się

Podwyżka o $10\%$, a potem obniżka o $10\%$ nie wraca do ceny wyjściowej. Dlaczego? Bo obniżka liczona jest już od nowej, wyższej ceny.

Cena $100$ zł: po podwyżce $110$ zł, po obniżce $110 \cdot 0{,}9 = 99$ zł. Wyszliśmy o złotówkę niżej niż zaczynaliśmy. Mnożniki tłumaczą to od razu: $1{,}1 \cdot 0{,}9 = 0{,}99$, a nie $1$.

Rozwiązane przykłady

Przykład 1. Cena $120$ zł wzrosła o $25\%$. Ile wynosi teraz?

$120 \cdot 1{,}25 = 150$ zł.

Przykład 2. Cena $80$ zł spadła o $15\%$. Ile wynosi teraz?

$80 \cdot 0{,}85 = 68$ zł.

Przykład 3. Cena $200$ zł spadła najpierw o $20\%$, a potem jeszcze o $10\%$. Ile wynosi?

$200 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}9 = 200 \cdot 0{,}72 = 144$ zł. Łączna obniżka to $28\%$, a nie $30\%$.

Przykład 4. Po obniżce o $40\%$ kurtka kosztuje $180$ zł. Ile kosztowała wcześniej?

Nowa cena to $60\%$ starej, czyli $0{,}6 \cdot x = 180$. Stąd $x = 180 : 0{,}6 = 300$ zł.

Typowe błędy

Dodawanie procentów przy kolejnych zmianach – dwie obniżki po $20\%$ nie dają $40\%$, tylko $36\%$.
Liczenie obniżki od nowej ceny zamiast od starej (lub odwrotnie) – zawsze sprawdź, co jest podstawą.
Mnożenie przez $0{,}2$ przy obniżce o $20\%$ – to daje wielkość obniżki, a nie nową cenę. Nowa cena to mnożenie przez $0{,}8$.
Zakładanie, że podwyżka i obniżka o tyle samo procent się znoszą – nie znoszą się.

Po co to się przydaje

Wyprzedaże, promocje „drugi produkt taniej”, podwyżki cen, inflacja, obniżki podatków – to wszystko jedna i ta sama matematyka. Kto rozumie mnożniki, ten w sklepie od razu widzi, czy „$50\%$ + dodatkowe $20\%$” oznacza rabat $70\%$ (nie oznacza – to $60\%$).

Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Procenty i proporcjonalność”.

Zadania

Zadanie 1

Oblicz w pamięci liczbę, która jest:

a) o $50\%$ większa od 80,

b) o $10\%$ większa od 150,

c) o $25\%$ większa od 60,

d) o $100\%$ większa od 45,

e) o $200\%$ większa od 12,

f) o $10\%$ mniejsza od 70,

g) o $25\%$ mniejsza od 36,

h) o $20\%$ mniejsza od 45,

i) o $1\%$ mniejsza od 300,

j) o $50\%$ mniejsza od 14.

💡 Pokaż podpowiedź

Zadanie 2

Znajdź liczbę:

a) o $75\%$ większą od 36,

b) o $0{,}5\%$ większą od 8,

c) o $120\%$ większą od 45,

d) o $36\%$ mniejszą od 25,

e) o $0{,}2\%$ mniejszą od 500,

f) o $7{,}5\%$ mniejszą od 40,

g) o $12{,}5\%$ większą od 64,

h) o $60\%$ mniejszą od $1{,}5$.

💡 Pokaż podpowiedź

Zadanie 3

Z informacji „planuje się powiększenie parku o 40%” wynika, że powierzchnia nowego parku będzie stanowić 140% obecnej powierzchni. Zinterpretuj w podobny sposób poniższe informacje: podaj, jakim procentem dawnej wielkości będzie nowa wielkość.

a) Planuje się powiększenie boiska o $30\%$.

b) Likwidacja sklepu: wszystkie artykuły $45\%$ taniej.

c) Obroty firmy w tym roku wzrosły o $150\%$.

d) Kino traci widzów: w tym miesiącu było o $35\%$ mniej widzów niż w poprzednim.

e) Fabryka zmniejszyła zużycie wody o $60\%$.

f) Ceny biletów do zoo wzrosły o $8\%$.

💡 Pokaż podpowiedź

Zadanie 4

Odpowiedz na pytania. Wskazówka: przyjmij, że cena początkowa wynosi 100 zł.

a) Cenę pewnego towaru podniesiono o $10\%$, a po sezonie obniżono o $10\%$. Czy po sezonie cena była wyższa, czy niższa od początkowej?

b) Cenę pewnego towaru obniżono o $10\%$, a w sezonie podwyższono o $10\%$. Czy w sezonie cena była wyższa, czy niższa od początkowej?

c) Cenę podniesiono o $20\%$, a potem obniżono o $20\%$. Jaka jest cena końcowa w porównaniu z początkową?

d) Cenę obniżono o $50\%$, a potem podniesiono o $50\%$. Jaka jest cena końcowa w porównaniu z początkową?

e) Cenę podniesiono o $25\%$, a potem obniżono o $20\%$. Jaka jest cena końcowa w porównaniu z początkową?

f) Cenę obniżono o $20\%$, a potem podniesiono o $25\%$. Jaka jest cena końcowa w porównaniu z początkową?

💡 Pokaż podpowiedź

Zadanie 5

W każdym zadaniu wybierz jedną poprawną odpowiedź.

a) Liczba o $120\%$ większa od 15 to:

A. 18; B. 33; C. 27; D. 36

b) Zebranie przewidywane na 3 godziny przedłużyło się o $25\%$ planowanego czasu. Trwało więc:

A. 3 godziny 25 minut; B. 3 godziny 15 minut; C. 3 godziny 45 minut; D. 4 godziny

c) Płaszcz, który kosztował 600 zł, przeceniono najpierw o $20\%$, a następnie jeszcze o $5\%$. Cena płaszcza wynosi obecnie:

A. 450 zł; B. 480 zł; C. 456 zł; D. 570 zł

d) Liczba o $30\%$ mniejsza od 80 to:

A. 50; B. 24; C. 56; D. 104

e) Cenę roweru podniesiono o $10\%$, a po miesiącu obniżono o $10\%$. W porównaniu z ceną początkową cena roweru jest teraz:

A. taka sama; B. niższa o $1\%$; C. wyższa o $1\%$; D. niższa o $10\%$

f) Czynsz podniesiono dwa razy, za każdym razem o $10\%$. Łącznie czynsz wzrósł o:

A. $20\%$; B. $21\%$; C. $10\%$; D. $11\%$

💡 Pokaż podpowiedź

Moja karta pracy (0)

Podwyżki i obniżki

Mnożniki

Uwaga: dwie zmiany nie sumują się

Rozwiązane przykłady

Typowe błędy

Po co to się przydaje

Zadania

Zadanie 1

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Zadanie 8

Zadanie 9

Zadanie 10

Szkoła podstawowa

Liceum/Technikum

Informacje