Procent to zawsze setna część czegoś – a skoro tak, to $p\%$ liczby $x$ zapisujemy jako $\frac{p}{100} \cdot x$. Gdy zamiast konkretnej liczby mamy literę, procenty wchodzą do wyrażeń algebraicznych dokładnie tak samo jak do rachunków na liczbach.
Podstawowe zapisy
| Zwrot | Wyrażenie | Postać skrócona |
|---|---|---|
| 25% liczby $x$ | $\frac{25}{100} \cdot x$ | $0{,}25x$ |
| liczba $x$ powiększona o 20% | $x + 0{,}2x$ | $1{,}2x$ |
| liczba $x$ pomniejszona o 20% | $x – 0{,}2x$ | $0{,}8x$ |
| liczba $x$ powiększona o $p\%$ | $x + \frac{p}{100}x$ | $x\left(1 + \frac{p}{100}\right)$ |
| liczba $x$ pomniejszona o $p\%$ | $x – \frac{p}{100}x$ | $x\left(1 – \frac{p}{100}\right)$ |
Skrócona postać bierze się z wyłączenia $x$ przed nawias. Warto ją znać, bo mnożenie przez jedną liczbę jest szybsze niż dodawanie dwóch wyrażeń.
Podwyżka i obniżka jednym mnożnikiem
Podwyżka o 30% to mnożenie przez $1{,}3$. Obniżka o 30% to mnożenie przez $0{,}7$. Ta zamiana jest kluczowa – dzięki niej kilka zmian po kolei liczy się przez zwykłe mnożenie mnożników.
Przykłady
1. Cena książki to $c$ zł. Ile kosztuje po podwyżce o 15%? Nowa cena: $c + 0{,}15c = 1{,}15c$.
2. Kurtka kosztowała $k$ zł, a po wyprzedaży potaniała o 40%. Zapisz nową cenę. Nowa cena: $k – 0{,}4k = 0{,}6k$. Klient płaci 60% dawnej ceny.
3. Cenę $t$ najpierw podniesiono o 10%, a potem obniżono o 10%. Zapisz cenę końcową i porównaj z wyjściową. Po podwyżce: $1{,}1t$. Po obniżce: $0{,}9 \cdot 1{,}1t = 0{,}99t$. Cena końcowa to 99% ceny wyjściowej – jest niższa niż na początku, mimo że procenty były takie same. Powód: obniżka liczyła się od większej kwoty.
4. W klasie jest $u$ uczniów, a 40% z nich to dziewczęta. Zapisz liczbę chłopców. Dziewcząt: $0{,}4u$. Chłopców: $u – 0{,}4u = 0{,}6u$.
Typowe błędy
- Mylenie „o $p\%$” z „do $p\%$”: obniżka o 20% daje $0{,}8x$, ale obniżka do 20% daje $0{,}2x$.
- Zakładanie, że podwyżka o 10% i obniżka o 10% się znoszą – jak w przykładzie 3, nie znoszą się.
- Dodawanie procentów z różnych podstaw, np. traktowanie dwóch podwyżek po 20% jak jednej o 40% (naprawdę wychodzi $1{,}2 \cdot 1{,}2 = 1{,}44$, czyli 44%).
Po co to się przydaje
Ceny, odsetki, rabaty, podatki – wszystko to procenty liczone od kwot, których często jeszcze nie znamy. Zapis literowy pozwala rozwiązać zadanie zanim poznamy kwotę, a potem tylko podstawić liczbę.
Zgodne z: Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Procenty i proporcjonalność”.