Dwie figury są przystające, gdy mają taki sam kształt i taką samą wielkość – można je na siebie nałożyć tak, żeby się pokryły. Zapisujemy to znakiem $\cong$, np. $\triangle ABC \cong \triangle KLM$.
Żeby sprawdzić, czy dwa trójkąty przystają, nie trzeba porównywać wszystkich sześciu elementów (3 boki i 3 kąty). Wystarczą trzy odpowiednio dobrane – i o tym mówią cechy przystawania.
Trzy cechy przystawania
| Cecha | Co musi się zgadzać |
|---|---|
| bbb | trzy boki jednego trójkąta równe trzem bokom drugiego |
| bkb | dwa boki i kąt między nimi |
| kbk | bok i dwa kąty przy tym boku |
Kolejność liter nie jest przypadkowa. W cesze bkb kąt musi leżeć między podanymi bokami. W cesze kbk oba kąty muszą leżeć przy podanym boku. Jeśli kąt leży gdzie indziej, cecha nie działa.
Czego cechą nie jest
Trzy kąty (kkk) nie wystarczą. Trójkąt o kątach $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$ o boku 2 cm i taki o boku 20 cm mają identyczne kąty, a przystające nie są – jeden jest dziesięć razy większy. Równe kąty dają ten sam kształt, ale nie tę samą wielkość.
Przykłady
1. W trójkątach $ABC$ i $KLM$ mamy $AB = KL = 7$ cm, $BC = LM = 5$ cm oraz $\angle B = \angle L = 48^\circ$. Czy przystają?
Tak – kąt $B$ leży między bokami $AB$ i $BC$, a kąt $L$ między $KL$ i $LM$. To cecha bkb.
2. Boki jednego trójkąta: 6 cm, 9 cm, 11 cm. Drugiego: 9 cm, 11 cm, 6 cm. Czy przystają?
Tak, cecha bbb – kolejność wypisywania boków nie ma znaczenia, liczy się zestaw długości.
3. Dane: $AB = KL = 8$ cm, $\angle A = \angle K = 35^\circ$, $\angle B = \angle L = 95^\circ$. Czy przystają?
Tak – oba kąty leżą przy boku o długości 8 cm. Cecha kbk.
4. Przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$. Uzasadnij, że trójkąty $ABS$ i $CDS$ przystają.
Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc $AS = SC$ i $BS = SD$. Kąty $ASB$ i $CSD$ są wierzchołkowe, czyli równe. Mamy dwa boki i kąt między nimi – cecha bkb.
Typowe błędy
- Uznawanie kkk za cechę przystawania – to cecha podobieństwa, nie przystawania.
- Stosowanie bkb, gdy kąt nie leży między podanymi bokami.
- Porównywanie boków nieodpowiadających sobie – trzeba pilnować, który bok któremu odpowiada.
Po co to się przydaje
Cechy przystawania to podstawowe narzędzie dowodzenia w geometrii – dzięki nim wykazujemy, że odcinki są równe albo że przekątne dzielą się na połowy. Praktycznie: kontrola jakości w produkcji seryjnej sprawdza właśnie, czy element przystaje do wzorca, mierząc kilka wybranych wymiarów, a nie wszystkie.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Figury geometryczne”.