Przystawanie trójkątów

Kolejność liter nie jest przypadkowa. W cesze bkb kąt musi leżeć między podanymi bokami. W cesze kbk oba kąty muszą leżeć przy podanym boku. Jeśli kąt leży gdzie indziej, cecha nie działa.

bbb – trzy pary równych boków. Kąty nie są potrzebne: trzy długości domykają trójkąt tylko w jeden sposób.

bkb – dwa boki i kąt między nimi. Kąt „zamyka” te dwa boki, więc trzeci bok nie ma już wyboru.

kbk – bok i dwa kąty leżące przy tym boku. Ramiona obu kątów muszą się przeciąć w jednym punkcie, więc trzeci wierzchołek jest wyznaczony.

Uwaga praktyczna do cechy kbk: skoro suma kątów trójkąta wynosi $180^\circ$, znając dwa kąty znasz i trzeci. Jeżeli więc w zadaniu kąt leży naprzeciw danego boku, wystarczy go doliczyć do $180^\circ$ i sprowadzić zadanie do kbk.

Trzy kąty (kkk) nie wystarczą. Trójkąt o kątach $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$ o boku 2 cm i taki o boku 20 cm mają identyczne kąty, a przystające nie są – jeden jest dziesięć razy większy. Równe kąty dają ten sam kształt, ale nie tę samą wielkość. W każdej cesze musi wystąpić co najmniej jeden bok.

Dwa boki i kąt, który nie leży między nimi, też nie wystarczą. Na rysunku niżej oba trójkąty mają boki 8 i 5 oraz kąt $40^\circ$, ale w pierwszym kąt leży między tymi bokami, a w drugim nie – i figury wychodzą zupełnie inne.

Zadania na dowód wyglądają zwykle tak samo. Szukasz trzech równości i nazywasz cechę:

1. Wypisz, co masz dane (równe boki, równe kąty, środek odcinka, prostopadłość).
2. Poszukaj równości, których nikt nie podał, bo „widać je z rysunku”: wspólny bok dwóch trójkątów, kąty wierzchołkowe przy przecięciu odcinków, kąty naprzemianległe przy prostych równoległych, równe odcinki, gdy punkt jest środkiem.
3. Sprawdź, czy trzy zebrane równości układają się w bbb, bkb albo kbk – i napisz, w której cesze.

Na tym rysunku: przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc $AS = SC$ i $BS = SD$, a kąty $ASB$ i $CSD$ są wierzchołkowe, czyli równe. Dwa boki i kąt między nimi – cecha bkb.

1. W trójkątach $ABC$ i $KLM$ mamy $AB = KL = 7$ cm, $BC = LM = 5$ cm oraz $\angle B = \angle L = 48^\circ$. Czy przystają?

Tak – kąt $B$ leży między bokami $AB$ i $BC$, a kąt $L$ między $KL$ i $LM$. To cecha bkb.

2. Boki jednego trójkąta: 6 cm, 9 cm, 11 cm. Drugiego: 9 cm, 11 cm, 6 cm. Czy przystają?

Tak, cecha bbb – kolejność wypisywania boków nie ma znaczenia, liczy się zestaw długości.

3. Dane: $AB = KL = 8$ cm, $\angle A = \angle K = 35^\circ$, $\angle B = \angle L = 95^\circ$. Czy przystają?

Tak – oba kąty leżą przy boku o długości 8 cm. Cecha kbk.

4. Przekątne równoległoboku $ABCD$ przecinają się w punkcie $S$. Uzasadnij, że trójkąty $ABS$ i $CDS$ przystają.

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc $AS = SC$ i $BS = SD$. Kąty $ASB$ i $CSD$ są wierzchołkowe, czyli równe. Mamy dwa boki i kąt między nimi – cecha bkb.

5. W trójkącie równoramiennym $ABC$ o podstawie $AB$ poprowadzono wysokość $CD$. Uzasadnij, że $AD = DB$.

Porównujemy trójkąty $ACD$ i $BCD$. Bok $CD$ jest wspólny. Kąty $ADC$ i $BDC$ są proste, bo $CD$ to wysokość. Kąty przy podstawie są równe, czyli $\angle A = \angle B$, więc z sumy kątów trójkąta także $\angle ACD = \angle BCD$ (każdy z nich to $90^\circ$ minus kąt przy podstawie). Mamy bok $CD$ i dwa kąty leżące przy nim – cecha kbk. Z przystawania wynika $AD = DB$.

6. Trójkąty $ABC$ i $KLM$ przystają, przy czym $\triangle ABC \cong \triangle KLM$. Wiadomo, że $\angle A = 67^\circ$, $\angle B = 53^\circ$ i $AB = 3$ cm. Co można powiedzieć o trójkącie $KLM$?

Odczytujemy z kolejności liter: $\angle K = 67^\circ$, $\angle L = 53^\circ$, $KL = 3$ cm. Trzeci kąt: $180^\circ-67^\circ-53^\circ = 60^\circ$, więc $\angle M = 60^\circ$.

• Uznawanie kkk za cechę przystawania – to cecha podobieństwa, nie przystawania.
• Stosowanie bkb, gdy kąt nie leży między podanymi bokami.
• Porównywanie boków nieodpowiadających sobie – trzeba pilnować, który bok któremu odpowiada.
• Wypisywanie przystawania w złej kolejności liter. $\triangle ABC \cong \triangle KLM$ i $\triangle ABC \cong \triangle LKM$ to różne stwierdzenia – z drugiego wynikałoby $AB = LK$ i $\angle A = \angle L$.
• Uznawanie, że trójkąty nie przystają, bo „inaczej leżą” na rysunku. Obrót i odbicie niczego nie zmieniają.
• Pomijanie równości, których nikt nie podał wprost: wspólnego boku i kątów wierzchołkowych. Bez nich zwykle brakuje trzeciego warunku.

Cechy przystawania to podstawowe narzędzie dowodzenia w geometrii – dzięki nim wykazujemy, że odcinki są równe albo że przekątne dzielą się na połowy. Praktycznie: kontrola jakości w produkcji seryjnej sprawdza właśnie, czy element przystaje do wzorca, mierząc kilka wybranych wymiarów, a nie wszystkie.