Liczba spełnia równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej obie strony równania dają tę samą wartość. Taką liczbę nazywamy rozwiązaniem (albo pierwiastkiem) równania.
Jak sprawdzić, czy liczba spełnia równanie
Podstawiamy ją osobno do lewej i osobno do prawej strony, obliczamy obie i porównujemy. Jeśli wyszło to samo – spełnia. Jeśli nie – nie spełnia. Sprawdźmy $x = 4$ w równaniu $3x – 5 = x + 3$:
- Lewa strona: $3 \cdot 4 – 5 = 12 – 5 = 7$
- Prawa strona: $4 + 3 = 7$
- Obie strony dają 7, więc liczba 4 spełnia to równanie.
Ile rozwiązań może mieć równanie
| Rodzaj | Przykład | Rozwiązania |
|---|---|---|
| zwykłe | $2x = 10$ | dokładnie jedno: $x = 5$ |
| z kwadratem | $x^2 = 9$ | dwa: $x = 3$ i $x = -3$ |
| tożsamościowe | $2(x + 1) = 2x + 2$ | każda liczba |
| sprzeczne | $x + 3 = x + 5$ | żadna liczba |
Równanie sprzeczne po uproszczeniu daje fałsz, np. $3 = 5$ – żadna liczba tego nie naprawi. Równanie tożsamościowe daje prawdę zawsze, np. $0 = 0$ – spełnia je każda liczba.
Zbiór rozwiązań
Wszystkie liczby spełniające dane równanie tworzą razem jego zbiór rozwiązań. Dla $2x = 10$ ten zbiór ma jeden element, dla równania sprzecznego jest pusty, dla tożsamościowego zawiera wszystkie liczby.
Przykłady
1. Czy liczba 6 spełnia równanie $2x – 4 = 8$? Lewa: $2 \cdot 6 – 4 = 8$. Prawa: $8$. Zgadza się, więc tak.
2. Czy liczba $-2$ spełnia równanie $x^2 + x = 2$? Lewa: $(-2)^2 + (-2) = 4 – 2 = 2$. Prawa: $2$. Tak, spełnia.
3. Sprawdź, czy równanie $4x – 1 = 4x + 6$ ma rozwiązanie. Odejmijmy $4x$ od obu stron: $-1 = 6$. To nieprawda dla żadnego $x$ – równanie jest sprzeczne, nie ma rozwiązań.
4. Sprawdź, jakie liczby spełniają $3(x – 2) = 3x – 6$. Po wymnożeniu lewa strona daje $3x – 6$ – dokładnie to samo co prawa. Równanie jest tożsamościowe, spełnia je każda liczba.
Typowe błędy
- Podstawianie liczby tylko do jednej strony i „domyślanie się” reszty. Trzeba policzyć obie.
- Pomijanie ujemnego rozwiązania przy kwadracie: $x^2 = 25$ ma dwa rozwiązania, nie jedno.
- Uznanie równania sprzecznego za błąd rachunkowy – $-1 = 6$ nie oznacza pomyłki, tylko brak rozwiązań.
Po co to się przydaje
Sprawdzenie to jedyny sposób, żeby upewnić się, że wynik jest dobry – i można je zrobić zawsze, bez pytania nauczyciela. Rozpoznawanie równań sprzecznych i tożsamościowych chroni przed szukaniem odpowiedzi tam, gdzie jej nie ma.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Równania”.