Liczby spełniające równania

Podstawiamy ją osobno do lewej i osobno do prawej strony, obliczamy obie i porównujemy. Jeśli wyszło to samo – spełnia. Jeśli nie – nie spełnia. Sprawdźmy $x = 4$ w równaniu $3x-5 = x + 3$:

• Lewa strona: $3 \cdot 4-5 = 12-5 = 7$
• Prawa strona: $4 + 3 = 7$
• Obie strony dają 7, więc liczba 4 spełnia to równanie.

W zeszycie zapisuje się to krócej, literami $L$ (lewa strona) i $P$ (prawa strona). Sprawdźmy, czy któraś z liczb 8 lub $-5$ jest rozwiązaniem równania $2x-7 = -32-3x$.

Dla $x = 8$:

$$L = 2 \cdot 8-7 = 16-7 = 9 \qquad P = -32-3 \cdot 8 = -32-24 = -56$$

$L \neq P$, więc 8 nie jest rozwiązaniem.

Dla $x = -5$:

$$L = 2 \cdot (-5)-7 = -10-7 = -17 \qquad P = -32-3 \cdot (-5) = -32 + 15 = -17$$

$L = P$, więc $-5$ jest rozwiązaniem.

Najczęstszy błąd przy podstawianiu liczby ujemnej: pominięcie nawiasu. Pisz $2 \cdot (-5)$ i $(-2)^2$, nigdy $2 \cdot -5$ ani $-2^2$ – bez nawiasu $-2^2$ znaczy $-(2^2) = -4$, a nie $4$.

Równanie sprzeczne po uproszczeniu daje fałsz, np. $3 = 5$ – żadna liczba tego nie naprawi. Równanie tożsamościowe daje prawdę zawsze, np. $0 = 0$ – spełnia je każda liczba.

Żeby szybko ocenić liczbę rozwiązań, warto pamiętać kilka faktów o potęgach:

• Kwadrat (i każda parzysta potęga) nigdy nie jest ujemny. Dlatego $x^2 = -25$ i $x^2 + 4 = 0$ są sprzeczne, a $x^2 = 0$ ma jedno rozwiązanie: $x = 0$.
• Sześcian (i każda nieparzysta potęga) może być ujemny. Dlatego $x^3 = -8$ ma rozwiązanie $x = -2$, i to jedyne.
• $0 \cdot x = 0$ spełnia każda liczba, ale $0 \cdot x = 7$ nie spełnia żadna.
• Iloczyn jest równy zeru dokładnie wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem. Stąd $3n(n-4) = 0$ ma dwa rozwiązania: $n = 0$ i $n = 4$.

Zanim nauczysz się rozwiązywać równania rachunkiem, wiele z nich da się rozwiązać samym myśleniem. To nie jest gorszy sposób – w zadaniach typu „znajdź obie liczby naturalne” bywa jedynym sensownym.

Weźmy $x^2 + 12 = 8x$. Mówimy: szukam liczby, której kwadrat powiększony o 12 daje jej ośmiokrotność. Podstawiamy po kolei małe liczby naturalne:

Rozwiązania to 2 i 6. Zauważ, że po drodze $L$ najpierw było większe, potem mniejsze, potem znowu równe – dlatego warto sprawdzić kilka liczb, a nie zatrzymywać się na pierwszym trafieniu.

Symbol $|x|$ czytamy: wartość bezwzględna liczby $x$. Wartość bezwzględna liczby nieujemnej jest równa tej liczbie, a wartość bezwzględna liczby ujemnej jest liczbą do niej przeciwną:

$$|5| = 5 \qquad |-7| = 7 \qquad |0| = 0 \qquad |-4{,}5| = 4{,}5$$

Najważniejsza własność: wartość bezwzględna nigdy nie jest liczbą ujemną. Na osi liczbowej $|x|$ to po prostu odległość liczby $x$ od zera – a odległość nie bywa ujemna.

Stąd od razu widać, ile rozwiązań ma równanie $|x| = a$:

• $|x| = 4$ – dwa rozwiązania, $x = 4$ i $x = -4$ (dwie liczby leżą w odległości 4 od zera),
• $|x| = 0$ – jedno rozwiązanie, $x = 0$,
• $|x| = -5$ – sprzeczne, bo odległość nie może być ujemna.

Równania takie jak $|x| + 3 = |x|$ czy $|x|-1 = |x| + 1$ są sprzeczne z innego powodu: po obu stronach stoi to samo $|x|$, a liczby przy nim są różne – lewa strona jest zawsze o 3 (albo o 2) różna od prawej, niezależnie od $x$.

Wszystkie liczby spełniające dane równanie tworzą razem jego zbiór rozwiązań. Dla $2x = 10$ ten zbiór ma jeden element, dla równania sprzecznego jest pusty, dla tożsamościowego zawiera wszystkie liczby.

Jeśli dwa równania mają ten sam zbiór rozwiązań, nazywamy je równaniami równoważnymi. Równania równoważne mogą wyglądać zupełnie inaczej – liczy się tylko to, jakie liczby je spełniają.

Ostatni wiersz bywa zaskoczeniem: wszystkie równania sprzeczne są sobie równoważne, bo mają ten sam (pusty) zbiór rozwiązań. Podobnie wszystkie równania tożsamościowe.

Żeby samemu ułożyć równanie równoważne danemu, wystarczy zrobić z nim coś, co nie zmienia zbioru rozwiązań: dodać to samo do obu stron, odjąć to samo od obu stron albo pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera. Na przykład z $3x = 15$ można zrobić $3x + 2 = 17$ (dodaliśmy 2), $6x = 30$ (pomnożyliśmy przez 2) albo $x = 5$ (podzieliliśmy przez 3).

Uwaga: mnożenie obu stron przez zero psuje wszystko – z $3x = 15$ zrobiłoby $0 = 0$, czyli równanie tożsamościowe, a ono nie jest równoważne pierwotnemu.

1. Czy liczba 6 spełnia równanie $2x-4 = 8$? Lewa: $2 \cdot 6-4 = 8$. Prawa: $8$. Zgadza się, więc tak.

2. Czy liczba $-2$ spełnia równanie $x^2 + x = 2$? Lewa: $(-2)^2 + (-2) = 4-2 = 2$. Prawa: $2$. Tak, spełnia.

3. Sprawdź, czy równanie $4x-1 = 4x + 6$ ma rozwiązanie. Odejmijmy $4x$ od obu stron: $-1 = 6$. To nieprawda dla żadnego $x$ – równanie jest sprzeczne, nie ma rozwiązań.

4. Sprawdź, jakie liczby spełniają $3(x-2) = 3x-6$. Po wymnożeniu lewa strona daje $3x-6$ – dokładnie to samo co prawa. Równanie jest tożsamościowe, spełnia je każda liczba.

5. Jaką liczbą trzeba zastąpić $a$ w równaniu $4x + 5 = a$, żeby jego rozwiązaniem była liczba 6? Podstawiamy $x = 6$ do lewej strony: $4 \cdot 6 + 5 = 29$. Zatem $a = 29$.

6. Wśród równań $x + 3 = 5$, $3x = -6$, $x^2 = 4$, $x + 2 = 0$ wskaż dwa równoważne. Rozwiązania po kolei: $2$; $-2$; $2$ i $-2$; $-2$. Ten sam zbiór mają $3x = -6$ i $x + 2 = 0$ – oba spełnia wyłącznie liczba $-2$.

7. Zastąp $\square$ wyrażeniem tak, by równanie $3x + 5 = 2x + \square$ było tożsamościowe. Lewa strona to $3x + 5$, więc prawa musi być dokładnie taka sama: $2x + \square = 3x + 5$, czyli $\square = x + 5$. Gdyby równanie miało być sprzeczne, wystarczy zepsuć samą liczbę: $\square = x + 1$ – wtedy po obu stronach jest $3x$, ale liczby są różne.

8. Napisz skomplikowane równanie, którego rozwiązaniem jest liczba 12. Zaczynamy od $x = 12$ i „psujemy” je krok po kroku, robiąc to samo po obu stronach: mnożymy przez 5 (wychodzi $5x = 60$), odejmujemy 8 ($5x-8 = 52$), na koniec dodajemy $x$ do obu stron ($6x-8 = x + 52$). Sprawdzenie: $L = 6 \cdot 12-8 = 64$, $P = 12 + 52 = 64$. Zgadza się.

• Podstawianie liczby tylko do jednej strony i „domyślanie się” reszty. Trzeba policzyć obie.
• Pomijanie ujemnego rozwiązania przy kwadracie: $x^2 = 25$ ma dwa rozwiązania, nie jedno.
• Uznanie równania sprzecznego za błąd rachunkowy – $-1 = 6$ nie oznacza pomyłki, tylko brak rozwiązań.
• Podstawianie liczby ujemnej bez nawiasu: $(-3)^2 = 9$, ale $-3^2 = -9$.
• Mylenie „równania równoważne” z „równania identyczne”. $x^2 = 25$ i $(x-5)(x + 5) = 0$ wyglądają inaczej, a są równoważne.
• Uznanie, że $|x| = -x$ jest sprzeczne. Nie jest – spełnia je każda liczba niedodatnia, bo np. dla $x = -2$ mamy $|-2| = 2$ i $-(-2) = 2$.

Sprawdzenie to jedyny sposób, żeby upewnić się, że wynik jest dobry – i można je zrobić zawsze, bez pytania nauczyciela. Rozpoznawanie równań sprzecznych i tożsamościowych chroni przed szukaniem odpowiedzi tam, gdzie jej nie ma.