Siatki graniastosłupów i pole powierzchni

Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i wszystkich ścian bocznych:

$$P_c = 2 P_p + P_b$$

gdzie $P_p$ to pole podstawy, a $P_b$ – pole powierzchni bocznej.

W graniastosłupie prostym wszystkie ściany boczne to prostokąty o tej samej wysokości $H$. Ich szerokości to kolejne boki podstawy. Zamiast liczyć każdy prostokąt osobno, sklejamy je w jeden:

$$P_b = O_p \cdot H$$

gdzie $O_p$ to obwód podstawy. To bardzo skraca rachunki, zwłaszcza gdy podstawa ma wiele boków.

1. Graniastosłup prosty ma w podstawie prostokąt o bokach 5 cm i 3 cm, a wysokość 8 cm. Oblicz pole powierzchni.

Pole podstawy: $5 \cdot 3 = 15$ cm$^2$. Obwód podstawy: $2 \cdot (5 + 3) = 16$ cm. Pole boczne: $16 \cdot 8 = 128$ cm$^2$. Razem: $P_c = 2 \cdot 15 + 128 = 158$ cm$^2$.

2. Graniastosłup prosty ma wysokość 10, a w podstawie siedmiokąt o obwodzie 24. Oblicz pole powierzchni bocznej.

$P_b = 24 \cdot 10 = 240$. Nie trzeba znać długości poszczególnych boków – wystarczy obwód.

3. Sześcian ma krawędź 4 cm. Oblicz pole powierzchni.

Sześcian ma 6 jednakowych ścian kwadratowych: $P_c = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96$ cm$^2$.

4. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy 6 cm i wysokość 9 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej.

Obwód podstawy (trójkąt równoboczny): $3 \cdot 6 = 18$ cm. Pole boczne: $18 \cdot 9 = 162$ cm$^2$.

• Zapominanie o drugiej podstawie – we wzorze jest $2P_p$, nie $P_p$.
• Mylenie wysokości graniastosłupa z wysokością trójkąta w podstawie – to dwie zupełnie różne wielkości.
• Używanie skrótu $P_b = O_p \cdot H$ dla graniastosłupa pochyłego – tam ściany boczne nie są prostokątami.
• Podawanie wyniku w cm zamiast cm$^2$.

Pole powierzchni to ilość materiału potrzebnego na obudowę: karton na pudełko, blachę na zbiornik, farbę na pomalowanie słupa. Producent opakowań liczy dokładnie to – i minimalizuje, bo każdy centymetr kwadratowy tektury kosztuje.