Liczba wymierna to każda liczba, którą da się zapisać jako ułamek zwykły, w którym licznik i mianownik są liczbami całkowitymi, a mianownik nie jest zerem. Innymi słowy: jeśli potrafisz przedstawić liczbę w postaci $\frac{a}{b}$, gdzie $a$ i $b$ to liczby całkowite oraz $b \neq 0$, to masz do czynienia z liczbą wymierną.
Jak zbiory liczb zawierają się w sobie
Poznane dotąd rodzaje liczb układają się jak pudełka wkładane jedno w drugie – każdy kolejny zbiór jest szerszy od poprzedniego.
| Zbiór | Co zawiera | Przykłady |
|---|---|---|
| Liczby naturalne | zero i liczby dodatnie bez ułamków | $0$, $1$, $2$, $17$, $250$ |
| Liczby całkowite | naturalne oraz liczby do nich przeciwne | $-8$, $-1$, $0$, $5$, $42$ |
| Liczby wymierne | całkowite oraz wszystkie ułamki (dodatnie i ujemne) | $-\frac{3}{4}$, $-2{,}5$, $0$, $\frac{7}{9}$, $6$ |
Dlaczego każda liczba całkowita jest wymierna
Bo wystarczy podstawić jedynkę w mianowniku. Liczba $9$ to przecież $\frac{9}{1}$, a liczba $-4$ to $\frac{-4}{1}$. Warunek z definicji jest spełniony, więc całkowite mieszczą się w zbiorze liczb wymiernych.
Podobnie ułamek dziesiętny o skończonym rozwinięciu zawsze da się przepisać na zwykły: $0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1. Sprawdź, czy $-1\frac{2}{5}$ jest liczbą wymierną.
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $-1\frac{2}{5} = -\frac{7}{5}$. Licznik $-7$ i mianownik $5$ to liczby całkowite, mianownik nie jest zerem – to liczba wymierna.
Przykład 2. Zapisz $2{,}4$ w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
$2{,}4 = \frac{24}{10}$. Skracamy przez $2$ i otrzymujemy $\frac{12}{5}$. Liczba wymierna.
Przykład 3. Które z liczb $-6$, $\frac{0}{8}$, $3{,}75$ są całkowite, a które tylko wymierne?
$-6$ jest całkowita (i przy okazji wymierna). $\frac{0}{8} = 0$ – to też liczba całkowita. Natomiast $3{,}75 = \frac{15}{4}$ nie jest całkowita, ale jest wymierna.
Przykład 4. Podaj liczbę wymierną leżącą pomiędzy $\frac{1}{3}$ a $\frac{1}{2}$.
Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. Rozszerzamy dalej: $\frac{4}{12}$ i $\frac{6}{12}$. Pomiędzy nimi leży $\frac{5}{12}$.
Typowe błędy
- Uznawanie, że liczba ujemna nie może być wymierna – może, minus nie przeszkadza.
- Zapominanie, że mianownik nie może być zerem – zapis $\frac{5}{0}$ nie oznacza żadnej liczby.
- Mylenie liczby całkowitej z liczbą naturalną – $-3$ jest całkowita, ale nie naturalna.
- Twierdzenie, że ułamek dziesiętny to „coś innego niż ułamek zwykły” – to tylko inny zapis tej samej liczby.
Po co to się przydaje
Uporządkowanie zbiorów liczbowych daje wspólny język. Kiedy w dalszej nauce pojawi się polecenie „podaj liczbę wymierną spełniającą warunek” albo „wykaż, że wynik jest całkowity”, musisz od razu wiedzieć, o jakie liczby chodzi. To także przygotowanie do klasy ósmej, gdzie poznasz liczby, których wymiernymi nazwać się nie da – na przykład $\sqrt{2}$.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Liczby i działania”.
Zadania
Zadanie 1
Zapisz każdą z podanych liczb w postaci dziesiętnej.
Zadanie 2
Poniżej podano dziewięć różnych liczb. Wskaż, które z nich są naturalne, a które całkowite.
Zadanie 3
Zamień podane ułamki dziesiętne na nieskracalne ułamki zwykłe albo liczby mieszane.
Zadanie 4
Zamień podane liczby na ułamki dziesiętne.
Zadanie 5
Zapisz podane wielkości w postaci ułamków dziesiętnych.
Zadanie 6
Wskaż pary liczb o tej samej wartości.
Zadanie 7
Dopasuj liczby do właściwych punktów na osi liczbowej.
Punkty $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ i $F$ są ułożone na osi od lewej do prawej.
Zadanie 8
Spośród podanych liczb wybierz te, które są różne od 7/4.
Zadanie 9
Wskaż pary liczb przeciwnych.
Zadanie 10
Wyznacz odwrotności podanych liczb.
Zadanie 11
Która z liczb jest większa?
Zadanie 12
Która liczba jest większa?
Zadanie 13
Zapisz podane liczby w kolejności od najmniejszej do największej.
Zadanie 14
Jakimi liczbami naturalnymi można zastąpić litery $a$, $b$, $c$ i $d$ w podpunktach a)-d)? Podaj wszystkie możliwości. Przyjmij, że zero jest liczbą naturalną.
W podpunktach e)-h) podaj po jednym przykładzie liczb $x$, $y$, $z$ i $w$, które spełniają podane warunki.