Mnożenie sum algebraicznych

$$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

Kolejność mnożenia: pierwszy z pierwszym, pierwszy z drugim, drugi z pierwszym, drugi z drugim. Po wymnożeniu prawie zawsze pojawiają się wyrazy podobne – trzeba je zredukować.

Prostokąt o bokach $(a + b)$ i $(c + d)$ dzieli się na cztery mniejsze prostokąty o polach $ac$, $ad$, $bc$, $bd$. Pole całości jest sumą pól części – i to jest dokładnie ten wzór.

1. Wykonaj mnożenie $(x + 3)(x + 5)$. Cztery iloczyny: $x \cdot x = x^2$, $x \cdot 5 = 5x$, $3 \cdot x = 3x$, $3 \cdot 5 = 15$. Razem: $x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$.

2. Wykonaj mnożenie $(a – 2)(a + 6)$. Iloczyny: $a^2$, $6a$, $-2a$, $-12$. Razem: $a^2 + 6a – 2a – 12 = a^2 + 4a – 12$.

3. Wykonaj mnożenie $(2m – 1)(3m – 4)$. Iloczyny: $2m \cdot 3m = 6m^2$, $2m \cdot (-4) = -8m$, $-1 \cdot 3m = -3m$, $-1 \cdot (-4) = 4$. Razem: $6m^2 – 8m – 3m + 4 = 6m^2 – 11m + 4$.

4. Wykonaj mnożenie $(y + 4)(y – 4)$. Iloczyny: $y^2$, $-4y$, $4y$, $-16$. Wyrazy $-4y$ i $4y$ znoszą się. Wynik: $y^2 – 16$.

Ostatni przykład to nie przypadek. Zawsze, gdy mnożymy sumę przez różnicę tych samych składników, środkowe wyrazy się znoszą: $(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$. Warto ten wzór rozpoznawać – oszczędza pracy.

• Wymnożenie „po przekątnej”: $(x + 2)(x + 3)$ to nie $x^2 + 6$. Trzeba wykonać wszystkie cztery iloczyny.
• Pominięcie redukcji na końcu – wynik ma być w postaci uporządkowanej.
• Błąd znaku przy mnożeniu dwóch liczb ujemnych: $(-2) \cdot (-5) = 10$, plus, nie minus.

Mnożenie sum pojawia się wszędzie tam, gdzie liczysz pole prostokąta o zmienionych bokach („bok wydłużono o 3, drugi skrócono o 1 – jak zmieni się pole?”). W liceum ten sam mechanizm prowadzi do wzorów skróconego mnożenia i równań kwadratowych.