Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad a^m : a^n = a^{m-n}$$

Drugi wzór działa dla $a \neq 0$. Skąd się biorą? Wystarczy rozpisać potęgi na czynniki:

$$3^2 \cdot 3^4 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^6$$

Dwa czynniki plus cztery czynniki to razem sześć czynników. Stąd dodawanie wykładników.

Przy dzieleniu jest tak samo, tylko czynniki się skracają:

$$\frac{3^5}{3^2} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$$

Dwie trójki z dołu skróciły się z dwiema z góry, zostały trzy. Stąd odejmowanie wykładników. Gdy wykładniki są równe, zostaje $a^0 = 1$: $\frac{6^{12}}{6^{12}} = 6^0 = 1$.

Czynnik bez wykładnika ma wykładnik 1. To najczęściej gubiony szczegół: $7^9 \cdot 7 \cdot 7^{14} = 7^9 \cdot 7^1 \cdot 7^{14} = 7^{24}$.

Wzory działają tylko wtedy, gdy podstawy są takie same. Iloczynu $2^3 \cdot 5^3$ nie zapiszemy jako jednej potęgi tą metodą – podstawy się różnią. Za to $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$ jest w porządku.

Bardzo często podstawy da się jednak ujednolicić: liczba stojąca w zadaniu bywa potęgą tej drugiej podstawy. Warto mieć w głowie:

Dzięki temu:

• $49 \cdot 7^9 = 7^2 \cdot 7^9 = 7^{11}$
• $9^5 : 81 = 9^5 : 9^2 = 9^3$ (albo przez podstawę 3: $3^{10} : 3^4 = 3^6$ – ta sama liczba)
• $32 \cdot 2^6 \cdot 4 = 2^5 \cdot 2^6 \cdot 2^2 = 2^{13}$
• $216 \cdot 6^9 : 6^{11} = 6^3 \cdot 6^9 : 6^{11} = 6^{12} : 6^{11} = 6$

Czasem podstawy da się ujednolicić dopiero przez potęgowanie potęgi (temat trzeci tego działu): $4^3 \cdot 2^5 = (2^2)^3 \cdot 2^5 = 2^6 \cdot 2^5 = 2^{11}$.

Gdy w jednym działaniu stoją obok siebie $(-a)$ i $a$, podstawy formalnie się różnią. Trzeba je najpierw ujednolicić – i to zawsze się da, bo $(-a)^n$ sprowadza się do $a^n$:

• wykładnik parzysty: $(-5)^4 = 5^4$
• wykładnik nieparzysty: $(-5)^3 = -5^3$ (minus wychodzi przed potęgę)

Dzięki temu $(-2)^7 \cdot 2^3$ zapiszemy jako $-2^7 \cdot 2^3 = -2^{10}$, a $(-9)^4 \cdot 9^6 = 9^4 \cdot 9^6 = 9^{10}$.

Tak samo działa to z literami: $(-b)^6 = b^6$, a $(-b)^7 = -b^7$. Dlatego $b^6 \cdot (-b) = b^6 \cdot (-b^1) = -b^7$, a $\dfrac{(-y)^9 \cdot y}{y^3} = \dfrac{-y^9 \cdot y}{y^3} = \dfrac{-y^{10}}{y^3} = -y^7$.

Dla podstawy 10 oba wzory są szczególnie wygodne, bo od razu widać, ile zer ma wynik:

$$10^5 \cdot 10^7 = 10^{12} \qquad 10^{12} : 10^6 = 10^6$$

Stąd bierze się zamiana jednostek. Wystarczy każdy krok zapisać jako potęgę dziesiątki i dodać wykładniki:

• $1$ km $= 10^3$ m, a $1$ m $= 10^3$ mm, więc $1$ km $= 10^3 \cdot 10^3$ mm $= 10^6$ mm
• $1$ t $= 10^3$ kg, a $1$ kg $= 10^2$ dag, więc $1$ t $= 10^3 \cdot 10^2$ dag $= 10^5$ dag
• $10$ km to $10^1 \cdot 10^6$ mm $= 10^7$ mm

Ten sam wzór odpowiada na pytania o wielkie liczby. Milion to $10^6$, miliard $10^9$, bilion $10^{12}$. Ile razy bilion jest większy od miliona? $10^{12} : 10^6 = 10^6$, czyli milion razy.

Przykład 1. Zapisz w postaci jednej potęgi: $7^5 \cdot 7^3$.

Podstawy równe, więc dodaję wykładniki: $7^{5+3} = 7^8$.

Przykład 2. Oblicz $\frac{2^9}{2^6}$.

Odejmuję wykładniki: $2^{9-6} = 2^3 = 8$.

Przykład 3. Zapisz jako jedną potęgę: $\frac{6^4 \cdot 6^5}{6^7}$.

Najpierw licznik: $6^{4+5} = 6^9$. Potem dzielenie: $6^{9-7} = 6^2 = 36$.

Przykład 4. Ile razy liczba $3^{11}$ jest większa od liczby $27$?

Najpierw wspólna podstawa: $27 = 3^3$. Teraz dzielę większą przez mniejszą: $3^{11} : 3^3 = 3^8$. Jest większa $3^8$ razy (czyli 6561 razy).

Przykład 5. Zastąp kwadracik liczbą: $49 \cdot 7^{\square} = 7^{15}$.

Zamieniam 49 na $7^2$, więc lewa strona to $7^{2+\square}$. Skoro ma wyjść $7^{15}$, to $2 + \square = 15$, czyli w kwadracie stoi 13.

Przykład 6. Oblicz $\dfrac{(-6)^{12}}{-6^{10}}$.

Licznik: wykładnik parzysty, więc $(-6)^{12} = 6^{12}$. Mianownik: minus stoi przed potęgą, więc $-6^{10}$. Zatem $\dfrac{6^{12}}{-6^{10}} = -\dfrac{6^{12}}{6^{10}} = -6^2 = -36$.

• Mnożenie wykładników zamiast dodawania. $2^3 \cdot 2^4$ to $2^7$, nie $2^{12}$.
• Dodawanie podstaw. Podstawa nigdy się nie zmienia: $5^2 \cdot 5^3 = 5^5$, nie $10^5$.
• Pominięcie czynnika stojącego bez wykładnika. W $7^9 \cdot 7 \cdot 7^{14}$ ta samotna siódemka to $7^1$ i też liczy się do sumy.
• Odejmowanie wykładników w złej kolejności. W $a^m : a^n$ od wykładnika licznika odejmujemy wykładnik mianownika.
• Stosowanie wzoru przy różnych podstawach, np. błędne $2^3 \cdot 3^3 = 6^3$ na tej zasadzie (akurat ta równość jest prawdziwa, ale z zupełnie innego wzoru – potęgowania iloczynu).
• Gubienie minusa przy podstawie ujemnej. $(-11)^{15}$ to $-11^{15}$, bo wykładnik jest nieparzysty.

Bez tych wzorów mnożenie dużych liczb w postaci potęgowej byłoby żmudne. To one pozwalają w jednej linijce uprościć $\frac{10^{15}}{10^{12}}$ zamiast rozpisywać piętnaście dziesiątek. Cała notacja wykładnicza – a więc zapis odległości gwiazd i rozmiarów atomów – stoi na tych dwóch regułach.