Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad a^m : a^n = a^{m-n}$$

Drugi wzór działa dla $a \neq 0$. Skąd się biorą? Wystarczy rozpisać potęgi na czynniki:

$$3^2 \cdot 3^4 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^6$$

Dwa czynniki plus cztery czynniki to razem sześć czynników. Stąd dodawanie wykładników.

Wzory działają tylko wtedy, gdy podstawy są takie same. Iloczynu $2^3 \cdot 5^3$ nie zapiszemy jako jednej potęgi tą metodą – podstawy się różnią. Za to $2^3 \cdot 2^5 = 2^8$ jest w porządku.

Czasem podstawy da się ujednolicić: $4^3 \cdot 2^5 = (2^2)^3 \cdot 2^5 = 2^6 \cdot 2^5 = 2^{11}$.

Przy działaniach mieszanych warto pamiętać, że $(-a)^n$ można sprowadzić do $a^n$:

• wykładnik parzysty: $(-5)^4 = 5^4$
• wykładnik nieparzysty: $(-5)^3 = -5^3$

Dzięki temu $(-2)^7 \cdot 2^3$ zapiszemy jako $-2^7 \cdot 2^3 = -2^{10}$.

Przykład 1. Zapisz w postaci jednej potęgi: $7^5 \cdot 7^3$.

Podstawy równe, więc dodaję wykładniki: $7^{5+3} = 7^8$.

Przykład 2. Oblicz $\frac{2^9}{2^6}$.

Odejmuję wykładniki: $2^{9-6} = 2^3 = 8$.

Przykład 3. Zapisz jako jedną potęgę: $\frac{6^4 \cdot 6^5}{6^7}$.

Najpierw licznik: $6^{4+5} = 6^9$. Potem dzielenie: $6^{9-7} = 6^2 = 36$.

Przykład 4. Ile razy liczba $3^{12}$ jest większa od $3^9$?

Dzielę większą przez mniejszą: $3^{12} : 3^9 = 3^3 = 27$. Jest większa 27 razy.

• Mnożenie wykładników zamiast dodawania. $2^3 \cdot 2^4$ to $2^7$, nie $2^{12}$.
• Dodawanie podstaw. Podstawa nigdy się nie zmienia: $5^2 \cdot 5^3 = 5^5$, nie $10^5$.
• Stosowanie wzoru przy różnych podstawach, np. błędne $2^3 \cdot 3^3 = 6^3$ na tej zasadzie (akurat ta równość jest prawdziwa, ale z zupełnie innego wzoru – potęgowania iloczynu).

Bez tych wzorów mnożenie dużych liczb w postaci potęgowej byłoby żmudne. To one pozwalają w jednej linijce uprościć $\frac{10^{15}}{10^{12}}$ zamiast rozpisywać piętnaście dziesiątek. Cała notacja wykładnicza – a więc zapis odległości gwiazd i rozmiarów atomów – stoi na tych dwóch regułach.