Objętość każdego graniastosłupa liczymy jednym wzorem: pole podstawy razy wysokość.
$$V = P_p \cdot H$$
Wzór działa niezależnie od kształtu podstawy – trójkąt, romb, sześciokąt – i niezależnie od tego, czy graniastosłup jest prosty, czy pochyły.
Skąd ten wzór
Wyobraź sobie graniastosłup zbudowany z warstw jednostkowych kostek. W jednej warstwie mieści się tyle kostek, ile wynosi pole podstawy. Warstw jest tyle, ile wynosi wysokość. Stąd całkowita liczba kostek – czyli objętość – to iloczyn tych dwóch liczb.
Co trzeba umieć
Cała trudność siedzi w polu podstawy, bo wzór na objętość jest ten sam. Trzeba więc znać wzory na pola wielokątów:
| Podstawa | Pole podstawy |
|---|---|
| prostokąt | $a \cdot b$ |
| trójkąt | $\frac{1}{2} a h$ |
| romb | $\frac{1}{2} e f$ (przekątne) |
| trapez | $\frac{(a+b) h}{2}$ |
| równoległobok | $a \cdot h$ |
Uwaga na dwie różne wysokości. Wysokość podstawy (np. trójkąta) to co innego niż wysokość graniastosłupa. W zadaniach oznacza się je zwykle małym $h$ i dużym $H$.
Przykłady
1. Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt o podstawie 8 cm i wysokości 5 cm. Wysokość graniastosłupa to 10 cm. Oblicz objętość.
Pole podstawy: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$ cm$^2$. Objętość: $20 \cdot 10 = 200$ cm$^3$.
2. Graniastosłup czworokątny ma w podstawie romb o przekątnych 8 cm i 12 cm. Krawędź boczna (prosty) ma 6 cm. Oblicz objętość.
Pole podstawy: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 48$ cm$^2$. Objętość: $48 \cdot 6 = 288$ cm$^3$.
3. Objętość graniastosłupa wynosi 240 cm$^3$, a pole podstawy 30 cm$^2$. Oblicz wysokość.
Z $V = P_p \cdot H$ mamy $H = 240 : 30 = 8$ cm.
4. Graniastosłup ma w podstawie trapez o podstawach 5 cm i 9 cm oraz wysokości 4 cm. Wysokość bryły to 7 cm. Oblicz objętość.
Pole podstawy: $\frac{(5+9) \cdot 4}{2} = 28$ cm$^2$. Objętość: $28 \cdot 7 = 196$ cm$^3$.
Typowe błędy
- Wstawianie wysokości podstawy zamiast wysokości graniastosłupa (albo odwrotnie).
- Zapominanie o dzieleniu przez 2 w polu podstawy trójkątnej lub rombowej.
- Mylenie objętości z polem powierzchni – to zupełnie inne wielkości i inne jednostki.
- W graniastosłupie pochyłym: branie krawędzi bocznej jako wysokości. Wysokość to odległość między podstawami.
Po co to się przydaje
Ile betonu na schody, ile ziemi wywieźć z wykopu, ile wody zmieści basen, ile towaru wejdzie do kontenera – wszystko to liczy się wzorem „pole podstawy razy wysokość”. Wystarczy umieć policzyć pole podstawy.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Graniastosłupy”.