Objętość graniastosłupa

Zbuduj graniastosłup z kostek o krawędzi 1 cm, układając je warstwami. Jedna warstwa to podstawa pokryta kostkami.

Kostek w jednej warstwie jest tyle, ile wynosi pole podstawy – bo pole to właśnie „ile kwadracików jednostkowych mieści się w figurze”. Warstw jest tyle, ile wynosi wysokość. Stąd:

$$V = P_p \cdot H$$

To ten sam pomysł, co przy prostopadłościanie: tam pole podstawy było równe $a \cdot b$, więc wzór $V = a \cdot b \cdot c$ to po prostu szczególny przypadek $V = P_p \cdot H$. Zmienia się tylko kształt podstawy, sposób liczenia zostaje ten sam.

Wzór działa także dla graniastosłupa pochyłego: przesunięcie warstw na bok nie zmienia ich liczby ani powierzchni, więc objętość zostaje ta sama. Ważne tylko, żeby $H$ było odległością między podstawami, a nie długością nachylonej krawędzi bocznej.

Wzór na objętość jest zawsze ten sam, więc zadanie sprowadza się do policzenia $P_p$. Trzeba znać wzory na pola wielokątów:

Uwaga na dwie różne wysokości. Wysokość podstawy (np. trójkąta) to co innego niż wysokość graniastosłupa. W zadaniach oznacza się je zwykle małym $h$ i dużym $H$. Mała $h$ wchodzi do wzoru na $P_p$, duża $H$ mnoży już gotowe $P_p$.

Wtedy rozcinasz podstawę na kawałki, do których wzory pasują, liczysz ich pola i dodajesz. Cała reszta zadania jest bez zmian: nadal mnożysz przez $H$.

Tu $P_p = 4 \cdot 5 + \frac{4 \cdot 3}{2} = 20 + 6 = 26$. Jeżeli taki graniastosłup ma wysokość $5$, to $V = 26 \cdot 5 = 130$.

Ten sam sposób działa dla schodów, wnęk i wszystkich „dziwnych” brył z zadań – wystarczy znaleźć podstawę, czyli ten wielokąt, który powtarza się na obu końcach bryły.

Tu podstawa rozpada się na trzy pasy: $P_p = 3 + 2 + 1 = 6$. Przy głębokości $4$ mamy $V = 6 \cdot 4 = 24$.

Ze wzoru $V = P_p \cdot H$ da się wyliczyć każdą wielkość, jeśli znasz dwie pozostałe:

• $P_p = V : H$ – znasz objętość i wysokość, szukasz pola podstawy,
• $H = V : P_p$ – znasz objętość i pole podstawy, szukasz wysokości.

Z policzonego pola podstawy można potem wrócić do wymiarów: jeśli podstawa jest kwadratem o polu $36$, to jej bok ma $6$, bo $6 \cdot 6 = 36$.

To ulubione pytanie w zadaniach na myślenie. Wystarczy podstawić do wzoru:

• podwajamy samą wysokość: $V$ rośnie 2 razy;
• podwajamy każdą krawędź podstawy (wysokość bez zmian): pole podstawy rośnie $4$ razy, więc $V$ rośnie 4 razy;
• podwajamy wszystkie krawędzie: pole podstawy rośnie $4$ razy i wysokość $2$ razy, więc $V$ rośnie 8 razy.

Reguła ogólna: jeśli wszystkie wymiary zwiększymy $k$ razy, objętość rośnie $k^3$ razy, a pole powierzchni $k^2$ razy.

1. Graniastosłup prosty ma w podstawie trójkąt o podstawie 8 cm i wysokości 5 cm. Wysokość graniastosłupa to 10 cm. Oblicz objętość.

Pole podstawy: $\frac{8 \cdot 5}{2} = 20$ (cm$^2$). Objętość: $20 \cdot 10 = 200$ (cm$^3$).

2. Graniastosłup prosty czworokątny ma w podstawie romb o przekątnych 8 cm i 12 cm. Krawędź boczna ma 6 cm. Oblicz objętość.

Pole podstawy: $\frac{8 \cdot 12}{2} = 48$ (cm$^2$). Graniastosłup jest prosty, więc krawędź boczna jest jednocześnie wysokością: $V = 48 \cdot 6 = 288$ (cm$^3$).

3. Objętość graniastosłupa wynosi 240 cm$^3$, a pole podstawy 30 cm$^2$. Oblicz wysokość.

Z $V = P_p \cdot H$ mamy $H = 240 : 30 = 8$ (cm).

4. Graniastosłup ma w podstawie trapez o podstawach 5 cm i 9 cm oraz wysokości 4 cm. Wysokość bryły to 7 cm. Oblicz objętość.

Pole podstawy: $\frac{(5+9) \cdot 4}{2} = \frac{56}{2} = 28$ (cm$^2$). Objętość: $28 \cdot 7 = 196$ (cm$^3$).

5. Podstawa graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma pole $100$ cm$^2$, a pole jednej ściany bocznej wynosi $50$ cm$^2$. Oblicz objętość.

Podstawa jest kwadratem o polu $100$, więc jej bok ma $10$ cm. Ściana boczna to prostokąt o bokach $10$ i $H$, a jej pole to $50$, więc $10H = 50$ i $H = 5$ (cm). Stąd $V = 100 \cdot 5 = 500$ (cm$^3$).

6. Basen ma kształt graniastosłupa o podstawie trapezowej: długość $25$ m, szerokość $10$ m, głębokość od $2$ m do $4$ m. Ile metrów sześciennych wody mieści?

Podstawą jest tu trapez o podstawach $2$ i $4$ oraz wysokości $25$ (bo to ściana wzdłuż basenu): $P_p = \frac{(2+4) \cdot 25}{2} = 75$ (m$^2$). Wysokość bryły to szerokość basenu, czyli $10$ m: $V = 75 \cdot 10 = 750$ (m$^3$), czyli $750\,000$ litrów.

7. Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $40$ cm$^3$, a krawędź boczna jest pięć razy dłuższa od krawędzi podstawy. Jakie są długości krawędzi?

Oznaczmy krawędź podstawy przez $a$. Wtedy $H = 5a$, a podstawa jest kwadratem o polu $a^2$. Stąd $V = a^2 \cdot 5a = 5a^3$, czyli $5a^3 = 40$, więc $a^3 = 8$ i $a = 2$ (cm). Krawędź boczna: $5 \cdot 2 = 10$ (cm).

• Wstawianie wysokości podstawy $h$ zamiast wysokości graniastosłupa $H$ (albo odwrotnie).
• Zapominanie o dzieleniu przez 2 w polu podstawy trójkątnej, rombowej lub trapezowej.
• Mnożenie przez $H$ tylko jednego składnika, gdy podstawa jest złożona. Najpierw policz całe $P_p$, dopiero potem mnóż.
• Mylenie objętości z polem powierzchni – to zupełnie inne wielkości i inne jednostki (cm$^3$ kontra cm$^2$).
• W graniastosłupie pochyłym: branie krawędzi bocznej jako wysokości. Wysokość to odległość między podstawami.
• Szukanie podstawy „na dole rysunku”. Podstawy to dwa jednakowe wielokąty na przeciwległych końcach bryły – w leżącym graniastosłupie są z przodu i z tyłu.
• Mnożenie objętości przez $k$ zamiast przez $k^3$, gdy wszystkie wymiary rosną $k$ razy.

Ile betonu na schody, ile ziemi wywieźć z wykopu, ile wody zmieści basen, ile towaru wejdzie do kontenera – wszystko to liczy się wzorem „pole podstawy razy wysokość”. Wystarczy umieć policzyć pole podstawy.