Punkty w układzie współrzędnych

• oś $x$ (odciętych) – pozioma, liczby rosną w prawo;
• oś $y$ (rzędnych) – pionowa, liczby rosną w górę;
• początek układu – punkt przecięcia osi, ma współrzędne $(0, 0)$.

Punkt zapisujemy jako $A = (x, y)$. Kolejność jest sztywna: najpierw $x$ (w bok), potem $y$ (w górę). Punkty $(3, 5)$ i $(5, 3)$ to dwa różne miejsca na płaszczyźnie.

Osie dzielą płaszczyznę na cztery ćwiartki, numerowane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zaczynając od prawej górnej.

Punkty leżące na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. Każdy punkt osi $x$ ma postać $(x, 0)$, a każdy punkt osi $y$ – postać $(0, y)$.

1. W której ćwiartce leży punkt $K = (-7, 3)$?

Pierwsza współrzędna ujemna, druga dodatnia – to II ćwiartka.

2. Punkt $M$ leży na osi $y$ i jest oddalony od początku układu o 5 jednostek. Jakie ma współrzędne?

Na osi $y$ pierwsza współrzędna to zero. Możliwości dwie: $M = (0, 5)$ albo $M = (0, -5)$.

3. Punkty $A = (-3, 1)$, $B = (2, 1)$, $C = (2, -4)$ są wierzchołkami prostokąta o bokach równoległych do osi. Podaj czwarty wierzchołek.

Bok $AB$ jest poziomy ($y = 1$), bok $BC$ pionowy ($x = 2$). Czwarty wierzchołek $D$ musi leżeć nad $C$ i pod $A$: bierze $x$ od $A$ i $y$ od $C$, czyli $D = (-3, -4)$.

4. Punkt $P = (a, -6)$ leży w III ćwiartce. Co wiesz o liczbie $a$?

W III ćwiartce obie współrzędne są ujemne. Druga już jest ujemna, więc $a < 0$.

• Odwracanie kolejności współrzędnych – najpierw zawsze $x$, potem $y$.
• Zapominanie o znakach: punkt $(-2, 5)$ idzie w lewo i w górę.
• Przypisywanie punktów leżących na osi do ćwiartki – one do żadnej nie należą.
• Nierówne jednostki na osiach – przy rysowaniu figur to zniekształca kształt.

Współrzędne to podstawa GPS, map cyfrowych i grafiki komputerowej – każdy piksel ekranu ma swoją parę liczb. W matematyce to pomost między algebrą a geometrią: równanie zamienia się w rysunek, a rysunek w równanie.