Potęgowanie potęgi

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Skąd to się bierze? Zapis $(a^m)^n$ oznacza, że potęgę $a^m$ bierzemy $n$ razy jako czynnik:

$$(4^3)^2 = 4^3 \cdot 4^3 = 4^{3+3} = 4^6$$

Dodawanie tego samego wykładnika $n$ razy to nic innego niż mnożenie go przez $n$. Stąd $3 \cdot 2 = 6$.

To najczęstsza pomyłka w tym temacie. Porównaj:

Wzór działa też w drugą stronę – pozwala zamienić potęgę o dużej podstawie na potęgę o mniejszej:

• $16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$
• $27^5 = (3^3)^5 = 3^{15}$
• $125^2 = (5^3)^2 = 5^6$

To kluczowa umiejętność przy porównywaniu potęg o różnych podstawach – sprowadzamy je do wspólnej podstawy i wtedy porównujemy wykładniki.

Przykład 1. Zapisz w postaci jednej potęgi: $(5^2)^4$.

Mnożę wykładniki: $5^{2 \cdot 4} = 5^8$.

Przykład 2. Zapisz $64$ jako potęgę liczby 2.

$64 = 2^6$. Można też zauważyć, że $64 = 8^2 = (2^3)^2 = 2^6$ – ta sama liczba, dwie drogi.

Przykład 3. Która liczba jest większa: $4^6$ czy $8^4$?

Sprowadzam do podstawy 2: $4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$, a $8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$. Liczby są równe.

Przykład 4. Oblicz $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^3$.

Mnożę wykładniki: $\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}$.

• Dodawanie wykładników zamiast mnożenia. $(3^2)^5$ to $3^{10}$, nie $3^7$.
• Mylenie $(a^m)^n$ z $a^{m^n}$. Zapis $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, natomiast $2^{3^2} = 2^9 = 512$.
• Podnoszenie podstawy do potęgi. W $(5^3)^2$ podstawa zostaje piątką.

Ten wzór pozwala porównywać liczby, które na pierwszy rzut oka wyglądają zupełnie inaczej. Bez niego nie da się stwierdzić, czy $32^4$ to więcej niż $16^5$ – a po sprowadzeniu do podstawy 2 odpowiedź widać od razu.