Potęga o wykładniku naturalnym

W zapisie $a^n$ liczba na dole to podstawa (co mnożymy), a liczba u góry to wykładnik (ile razy bierzemy podstawę jako czynnik).

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}$$

Czyli $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Uwaga na typowy błąd: $2^5$ to nie $2 \cdot 5$. Wykładnik mówi, ile razy mnożymy – nie jest zwykłym mnożnikiem.

Gdy nie wiesz, co robić z potęgą, rozpisz ją na czynniki. To jedyna rzecz, którą trzeba pamiętać; cała reszta tego działu z tego wynika.

• Wykładnik 1: $a^1 = a$. Jeden czynnik to po prostu ta liczba, np. $7^1 = 7$.
• Wykładnik 0: $a^0 = 1$ dla każdego $a \neq 0$. Np. $12^0 = 1$, $(-6)^0 = 1$, a nawet $\left(\tfrac{2}{9}\right)^0 = 1$.

Drugiej umowy nie da się „rozpisać na czynniki” – zero czynników trudno sobie wyobrazić. Matematycy tak się umówili, bo dzięki temu wszystkie wzory z następnych tematów działają bez wyjątków. Zapamiętaj: wykładnik zero daje jedynkę, a nie zero.

Te trzy podstawy zachowują się wyjątkowo prosto i warto je znać od ręki:

• $0^n = 0$ dla każdego wykładnika $n \ge 1$ – mnożymy same zera, np. $0^7 = 0$, $0^1 = 0$.
• $0^0$ nie ma określonej wartości – taki zapis nic nie oznacza i nie pojawia się w zadaniach.
• $1^n = 1$ zawsze, bo jedynki mnożone przez siebie dają jedynkę: $1^9 = 1$, $1^0 = 1$.
• $(-1)^n$ zależy tylko od parzystości wykładnika: $(-1)^{12} = 1$, ale $(-1)^{101} = -1$.

Dwie potęgi mają własne nazwy, bo opisują pole i objętość:

• $a^2$ – kwadrat liczby $a$ (pole kwadratu o boku $a$)
• $a^3$ – sześcian liczby $a$ (objętość sześcianu o krawędzi $a$)

Nazwy nie są przypadkowe. Kwadrat o boku 5 rozpada się na 5 rzędów po 5 kwadracików jednostkowych:

Z sześcianem jest tak samo, tylko o jeden wymiar dalej: sześcian o krawędzi 5 składa się z 5 warstw po 25 kostek, czyli z $5^3 = 125$ kostek jednostkowych.

Potęga dziesiątki to jedynka i tyle zer, ile wynosi wykładnik.

$$10^4 = 10\,000 \qquad 10^8 = 100\,000\,000$$

Działa to też w drugą stronę – żeby zapisać wielką liczbę jako potęgę dziesiątki, wystarczy policzyć zera: sto $= 10^2$, dziesięć tysięcy $= 10^4$, milion $= 10^6$, miliard $= 10^9$, bilion $= 10^{12}$.

Gdy podstawą jest 100 albo 1000, licz zera tak samo, tylko po kilka naraz. W $100^4$ każda setka wnosi 2 zera, a setek jest cztery, więc zer jest $4 \cdot 2 = 8$: $100^4 = 10^8$.

Przy ułamkach dziesiętnych rządzi liczba miejsc po przecinku:

Liczba miejsc po przecinku w wyniku = liczba miejsc po przecinku w podstawie razy wykładnik.

• $0{,}1^4$: jedno miejsce razy 4, czyli 4 miejsca. Wynik: $0{,}0001$.
• $0{,}2^3$: jedno miejsce razy 3, czyli 3 miejsca. Liczę $2^3 = 8$ i dopisuję zera: $0{,}008$.
• $0{,}05^2$: dwa miejsca razy 2, czyli 4 miejsca. Liczę $5^2 = 25$: $0{,}0025$.
• $0{,}01^3$: dwa miejsca razy 3, czyli 6 miejsc. Wynik: $0{,}000001$.

Ułamek zwykły podnosimy do potęgi osobno w liczniku i osobno w mianowniku:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$$

Liczbę mieszaną najpierw zamień na ułamek niewłaściwy, inaczej rachunek się nie uda. Na przykład $\left(1\frac{1}{3}\right)^2 = \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$ – a nie $1\frac{1}{9}$, jak wychodzi po błędnym podniesieniu do kwadratu osobno całości i osobno ułamka.

Minus przed ułamkiem obejmuje cały ułamek, więc traktujemy go tak jak każdą liczbę ujemną: $\left(-\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49}$, a $\left(-\frac{2}{5}\right)^3 = -\frac{8}{125}$.

Potęga nie zawsze jest większa od podstawy. Wszystko zależy od tego, czy podstawa jest większa, czy mniejsza od 1:

• gdy podstawa jest większa od 1, kolejne potęgi rosną: $\frac{3}{2} \lt \left(\frac{3}{2}\right)^2 \lt \left(\frac{3}{2}\right)^3 \lt \ldots$
• gdy podstawa mieści się między 0 a 1, kolejne potęgi maleją i zbliżają się do zera: $\frac{2}{3} \gt \left(\frac{2}{3}\right)^2 \gt \left(\frac{2}{3}\right)^3 \gt \ldots$

Widać to od razu na osi liczbowej:

Przy porządkowaniu liczb opłaca się iść trzema krokami:

1. Ustal znak każdej liczby (patrz niżej – decyduje parzystość wykładnika i miejsce minusa). Wszystkie ujemne są mniejsze od wszystkich dodatnich.
2. Porównaj liczby o tej samej podstawie – przy podstawie większej od 1 wygrywa większy wykładnik, przy podstawie między 0 a 1 wygrywa mniejszy wykładnik.
3. Porównaj liczby o tym samym wykładniku – wtedy wygrywa większa podstawa, np. $4^7 \lt 6^7$.

O znaku decyduje parzystość wykładnika. Mnożąc liczbę ujemną przez siebie parzystą liczbę razy, minusy zniosą się w pary:

• wykładnik parzysty to wynik dodatni: $(-3)^4 = 81$
• wykładnik nieparzysty to wynik ujemny: $(-3)^5 = -243$

Gdy w jednym wyrażeniu jest kilka potęg, nie trzeba niczego liczyć – wystarczy policzyć minusy. Każdy czynnik ujemny to jeden minus; parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, nieparzysta – ujemny. Na przykład w $\left(-\frac{4}{15}\right)^3 \cdot \left(-\frac{9}{22}\right)^4$ pierwszy czynnik jest ujemny (wykładnik nieparzysty), drugi dodatni, razem jeden minus, więc wynik jest ujemny.

To najczęstsza pułapka w tym temacie. Porównaj:

Bez nawiasu potęgowanie wykonujemy przed zmianą znaku. Zapis $-2^4$ czytamy jako $-(2^4)$. Dlatego $-1^{95}$ liczymy tak: najpierw $1^{95} = 1$, potem minus, czyli wynik to $-1$. Przy wykładniku parzystym różnicę między tymi zapisami widać najlepiej: $-1^{10} = -1$, ale $(-1)^{10} = 1$.

Bywa też minus przed nawiasem: w $-(-14)^6$ najpierw liczymy $(-14)^6$ (wykładnik parzysty, więc wynik dodatni), a potem zmieniamy znak – całość jest ujemna.

Kolejność działań: potęgowanie wykonujemy przed mnożeniem i dzieleniem, a te przed dodawaniem i odejmowaniem. Nawiasy jak zwykle idą pierwsze. Dlatego $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$, a nie $6^3$.

Najpierw kilka potęg, które warto znać na pamięć – bez nich każde zadanie z tego działu trwa dwa razy dłużej:

Każdą liczbę naturalną większą od 1 można zapisać jako iloczyn potęg liczb pierwszych. Sposób jest zawsze ten sam: dzielimy przez kolejne liczby pierwsze (2, 3, 5, 7, 11, 13, …) tak długo, jak się da, i zliczamy, ile razy które dzielenie się udało.

Na przykład dla 360: $360 : 2 = 180$, $180 : 2 = 90$, $90 : 2 = 45$ – dwójka weszła trzy razy. Dalej $45 : 3 = 15$, $15 : 3 = 5$ – trójka dwa razy. Zostało 5, czyli piątka raz. Stąd $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$.

Przykład 1. Zapisz w postaci potęgi: $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$.

Liczymy czynniki – jest ich siedem, podstawa to 6. Zatem $6^7$.

Przykład 2. Oblicz $\left(\frac{3}{4}\right)^3$.

Potęguję osobno licznik i mianownik: $\frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$.

Przykład 3. Oblicz $(-5)^3$ oraz $-5^3$.

W pierwszym nawias obejmuje minus, wykładnik nieparzysty, więc wynik ujemny: $(-5)^3 = -125$. W drugim potęguję tylko piątkę: $-5^3 = -(5^3) = -125$. Tu wyniki wyszły takie same, bo wykładnik jest nieparzysty. Przy wykładniku parzystym byłoby inaczej: $(-5)^2 = 25$, ale $-5^2 = -25$.

Przykład 4. Oblicz $2 \cdot 3^2 + 4^0$.

Kolejność działań: najpierw potęgi, potem mnożenie, na końcu dodawanie. $3^2 = 9$, $4^0 = 1$. Zatem $2 \cdot 9 + 1 = 18 + 1 = 19$.

Przykład 5. Oblicz $0{,}3^4$.

Podstawa ma jedno miejsce po przecinku, wykładnik to 4, więc wynik będzie miał 4 miejsca. Liczę samą trójkę: $3^4 = 81$. Wpisuję 81 na dwóch ostatnich z czterech miejsc: $0{,}3^4 = 0{,}0081$.

Przykład 6. Jaka jest ostatnia cyfra liczby $7^{19}$?

Wypisuję ostatnie cyfry kolejnych potęg siódemki: $7^1$ kończy się na 7, $7^2 = 49$ na 9, $7^3 = 343$ na 3, $7^4 = 2401$ na 1, a potem cykl się powtarza: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … Cykl ma długość 4, a $19 = 4 \cdot 4 + 3$, więc $7^{19}$ kończy się tak jak trzecia liczba w cyklu, czyli cyfrą 3.

Przykład 7. Uzasadnij, że $3^4 + 3^4 + 3^4 = 3^5$.

Po lewej stronie są trzy jednakowe składniki, czyli $3 \cdot 3^4$. To jest $3 \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$, a więc pięć trójek pomnożonych przez siebie: $3^5$.

• Mylenie $a^n$ z $a \cdot n$. Zapis $4^3$ to $64$, nie $12$.
• Pomijanie nawiasu przy liczbach ujemnych – $-3^2 = -9$, ale $(-3)^2 = 9$. To dwie różne liczby.
• Potęgowanie tylko licznika ułamka. W $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ mianownik też idzie do potęgi.
• Potęgowanie liczby mieszanej bez zamiany na ułamek niewłaściwy.
• Uznawanie, że $a^0 = 0$. Poprawnie: $a^0 = 1$ (dla $a \neq 0$). Za to $0^n = 0$ dla $n \ge 1$ – tu zero rzeczywiście wychodzi.
• Przekonanie, że potęga zawsze jest większa od podstawy. Dla ułamka jest odwrotnie: $0{,}2^9 \lt 0{,}2$.
• Gubienie miejsc po przecinku. $0{,}02^3$ to $0{,}000008$, a nie $0{,}008$.

Potęgi opisują wszystko, co rośnie przez podwajanie albo mnożenie: komórki dzielące się w hodowli, odsetki w banku, liczbę pikseli na ekranie, pojemność pamięci komputera. Rosną przy tym zaskakująco szybko – kartka papieru złożona na pół 50 razy miałaby grubość $2^{50}$ razy większą od początkowej, czyli ponad 25 razy większą niż odległość z Ziemi do Księżyca. Bez potęg zapis takich liczb byłby nieczytelny – dlatego kolejne tematy tego działu wprowadzą działania na potęgach i notację wykładniczą.