Potęga o wykładniku naturalnym

W zapisie $a^n$ liczba na dole to podstawa (co mnożymy), a liczba u góry to wykładnik (ile razy bierzemy podstawę jako czynnik).

$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ czynników}}$$

Czyli $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Uwaga na typowy błąd: $2^5$ to nie $2 \cdot 5$. Wykładnik mówi, ile razy mnożymy – nie jest zwykłym mnożnikiem.

• Wykładnik 1: $a^1 = a$. Jeden czynnik to po prostu ta liczba, np. $7^1 = 7$.
• Wykładnik 0: $a^0 = 1$ dla każdego $a \neq 0$. Np. $12^0 = 1$, a nawet $\left(\tfrac{2}{9}\right)^0 = 1$.

Dwie potęgi mają własne nazwy, bo opisują pole i objętość:

• $a^2$ – kwadrat liczby $a$ (pole kwadratu o boku $a$)
• $a^3$ – sześcian liczby $a$ (objętość sześcianu o krawędzi $a$)

Ułamek zwykły podnosimy do potęgi osobno w liczniku i osobno w mianowniku:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$$

Przy ułamku dziesiętnym liczymy wprost: $0{,}4^2 = 0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16$. Zwróć uwagę, ze wynik jest mniejszy od podstawy – tak dzieje się zawsze, gdy podnosimy do potęgi liczbę z przedziału od 0 do 1.

O znaku decyduje parzystość wykładnika. Mnożąc liczbę ujemną przez siebie parzystą liczbę razy, minusy zniosą się w pary:

• wykładnik parzysty to wynik dodatni: $(-3)^4 = 81$
• wykładnik nieparzysty to wynik ujemny: $(-3)^5 = -243$

To najczęstsza pułapka w tym temacie. Porównaj:

Bez nawiasu potegowanie wykonujemy przed zmianą znaku. Zapis $-2^4$ czytamy jako $-(2^4)$.

Przykład 1. Zapisz w postaci potęgi: $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$.

Liczymy czynniki – jest ich siedem, podstawa to 6. Zatem $6^7$.

Przykład 2. Oblicz $\left(\frac{3}{4}\right)^3$.

Potęguję osobno licznik i mianownik: $\frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$.

Przykład 3. Oblicz $(-5)^3$ oraz $-5^3$.

W pierwszym nawias obejmuje minus, wykładnik nieparzysty, więc wynik ujemny: $(-5)^3 = -125$. W drugim poteguje tylko piątkę: $-5^3 = -(5^3) = -125$. Tu wyniki wyszły takie same, bo wykładnik jest nieparzysty. Przy wykladniku parzystym byłoby inaczej: $(-5)^2 = 25$, ale $-5^2 = -25$.

Przykład 4. Oblicz $2 \cdot 3^2 + 4^0$.

Kolejność działań: najpierw potęgi, potem mnożenie, na końcu dodawanie. $3^2 = 9$, $4^0 = 1$. Zatem $2 \cdot 9 + 1 = 18 + 1 = 19$.

• Mylenie $a^n$ z $a \cdot n$. Zapis $4^3$ to $64$, nie $12$.
• Pomijanie nawiasu przy liczbach ujemnych – $-3^2$ i $(-3)^2$ to dwie różne liczby.
• Potęgowanie tylko licznika ułamka. W $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ mianownik też idzie do potęgi.
• Uznawanie, ze $a^0 = 0$. Poprawnie: $a^0 = 1$.

Potęgi opisują wszystko, co rośnie przez podwajanie albo mnożenie: komórki dzielące się w hodowli, odsetki w banku, liczbę pikseli na ekranie, pojemność pamięci komputera. Bez nich zapis dużych liczb byłby nieczytelny – dlatego kolejne tematy tego działu wprowadzą działania na potegach i notację wykładniczą.