Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Trzy kroki, zawsze te same:

1. W miejsce każdej litery wpisz jej liczbę – koniecznie w nawiasie, jeśli liczba jest ujemna.
2. Przywróć pominięte znaki mnożenia.
3. Wykonaj działania w zwykłej kolejności: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie, dodawanie i odejmowanie.

Zobacz te kroki na jednym przykładzie. Obliczamy wartość wyrażenia $3x^2-y(x+2)$ dla $x=-3$ i $y=4$:

Najczęstsza pomyłka to przeskoczenie kroku drugiego. W zapisie $3x^2$ kryje się mnożenie: $3 \cdot x^2$. Podstawiając $x=-3$, nie wolno napisać $3(-3)^2 = (-9)^2$ – potęgujemy tylko $-3$, a dopiero wynik mnożymy przez 3.

Ułamki i liczby dziesiętne

Gdy podstawiamy ułamek, potęgujemy cały ułamek – licznik i mianownik:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \qquad 0{,}2^2 = 0{,}04$$

Zwróć uwagę na drugi wynik: $0{,}2^2$ to $0{,}04$, a nie $0{,}4$. Mnożąc dwie liczby dziesiętne, dodajemy liczbę miejsc po przecinku.

Porównaj, co się dzieje dla $x=-3$ w wyrażeniach $x^2$, $-x^2$, $2x$ i $-2x$:

Bez nawiasu przy podstawianiu liczby ujemnej gubi się znak – to najczęstsza przyczyna błędnych wyników. Różnica między $(-3)^2$ a $-3^2$ jest zasadnicza: w pierwszym zapisie podnosimy do kwadratu liczbę $-3$ i dostajemy $9$, w drugim podnosimy do kwadratu liczbę $3$, a minus zostaje z przodu, więc dostajemy $-9$.

Nawias trzeba dopisać także tam, gdzie w wyrażeniu było odejmowanie. W $y-3x$ dla $x=-2$ i $y=4$ mamy $4-3 \cdot (-2) = 4-(-6) = 4+6 = 10$. Odejmowanie liczby ujemnej zamienia się w dodawanie.

Wzory z geometrii, fizyki czy medycyny to zwykłe wyrażenia algebraiczne – obliczanie z nich to dokładnie to samo podstawianie. Na przykład pole trapezu:

$$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$

Dla $a=10$, $b=5$ i $h=4$ podstawiamy i liczymy po kolei: najpierw nawias $10+5 = 15$, potem $15 \cdot 4 = 60$, na końcu $60:2 = 30$. Pole wynosi $30$.

Tak samo działają wzory spoza matematyki. Temperaturę w stopniach Fahrenheita liczy się ze wzoru $F = 1{,}8C+32$, więc dla $C=25$ mamy $F = 1{,}8 \cdot 25+32 = 45+32 = 77$. Kolejność działań jest tu ważna: najpierw mnożenie, potem dodawanie.

Przy wzorach zawsze warto zapisać, co oznacza każda litera. Jeśli we wzorze są dwie różne litery, podstawienie liczby pod niewłaściwą z nich daje wynik, który wygląda poprawnie, a jest zły.

Cyfry liczby też można oznaczyć literami. Liczba dwucyfrowa o cyfrze dziesiątek $a$ i cyfrze jedności $b$ to

$$10a+b$$

bo $a$ oznacza dziesiątki, a każda dziesiątka to 10. Podobnie liczba trzycyfrowa o cyfrach $a$, $b$, $c$ to $100a+10b+c$, a czterocyfrowa to $1000a+100b+10c+d$.

Sprawdź to na przykładzie: dla $a=4$, $b=0$, $c=7$ wyrażenie $100a+10b+c$ daje $400+0+7 = 407$ – i rzeczywiście liczba $407$ ma cyfrę setek 4, cyfrę dziesiątek 0 i cyfrę jedności 7.

Nie zapisujemy takiej liczby jako $ab$ – to oznaczałoby iloczyn $a \cdot b$, czyli w naszym przykładzie $4 \cdot 0 = 0$.

Czasem nie trzeba liczyć wartości, żeby coś o niej powiedzieć. Pomaga jedna obserwacja:

$$x^2 \ge 0 \quad \text{dla każdej liczby } x$$

Kwadrat nigdy nie jest ujemny – jest dodatni albo (dla $x=0$) równy zeru. Stąd:

• $x^2+4$ jest zawsze co najmniej równe $4$, więc zawsze większe od 3 – zdanie prawdziwe;
• $(a+2)^2:4+5$ jest zawsze co najmniej równe $5$, więc zawsze dodatnie;
• $10-y^2$ nie jest zawsze dodatnie – wystarczy wziąć $y=5$, żeby dostać $10-25 = -15$;
• $b^2-b$ też nie – dla $b=\frac{1}{2}$ mamy $\frac{1}{4}-\frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

Zwróć uwagę na sposób uzasadniania. Żeby wykazać, że zdanie jest prawdziwe, trzeba podać powód działający dla wszystkich liczb. Żeby wykazać, że jest fałszywe, wystarczy jeden kontrprzykład – jedna liczba, dla której nie wychodzi.

1. Oblicz wartość $3x-5$ dla $x=4$. Podstawiamy: $3 \cdot 4-5 = 12-5 = 7$.

2. Oblicz wartość $x^2-2x$ dla $x=-3$. Podstawiamy: $(-3)^2-2 \cdot (-3) = 9+6 = 15$. Zwróć uwagę: odejmowanie liczby ujemnej dało dodawanie.

3. Oblicz wartość $\frac{a+b}{a-b}$ dla $a=7$, $b=3$. Licznik: $7+3 = 10$. Mianownik: $7-3 = 4$. Wynik: $\frac{10}{4} = 2{,}5$.

4. Oblicz wartość $2(m-n)^2$ dla $m=5$, $n=8$. Najpierw nawias: $5-8 = -3$. Potem kwadrat: $(-3)^2 = 9$. Na koniec: $2 \cdot 9 = 18$.

5. Oblicz wartość $a^2-5a+2$ dla $a=-3$. Podstawiamy: $(-3)^2-5 \cdot (-3)+2 = 9+15+2 = 26$.

6. Oblicz wartość $x^2-0{,}5x$ dla $x=0{,}4$. Kwadrat: $0{,}4^2 = 0{,}16$. Drugi składnik: $0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2$. Razem: $0{,}16-0{,}2 = -0{,}04$.

7. Oblicz wartość $(m+1)(n-2)$ dla $m=2$ i $n=1$. Najpierw oba nawiasy: $2+1 = 3$ oraz $1-2 = -1$. Potem mnożymy: $3 \cdot (-1) = -3$.

Jeśli w mianowniku po podstawieniu wyjdzie zero, wyrażenie nie ma wartości liczbowej – dzielić przez zero nie wolno. Wyrażenie $\frac{5}{x-2}$ nie ma wartości dla $x=2$, bo wtedy mianownik $2-2$ jest równy 0.

Dla każdej innej liczby wartość istnieje: dla $x=7$ jest to $\frac{5}{5} = 1$, dla $x=0$ jest to $\frac{5}{-2} = -2{,}5$.

• Podstawianie liczby ujemnej bez nawiasu: zapis $-3^2$ znaczy $-9$, a $(-3)^2$ znaczy $9$.
• Zapomnienie o pominiętym znaku mnożenia: w $4a$ dla $a=6$ wynik to $24$, nie $46$.
• Podniesienie do kwadratu całego iloczynu: w $3x^2$ dla $x=-3$ potęgujemy tylko $x$, więc wychodzi $27$, a nie $81$.
• Liczenie od lewej do prawej z pominięciem kolejności działań.
• Błąd przy kwadracie liczby dziesiętnej: $0{,}2^2 = 0{,}04$, a nie $0{,}4$.
• Uznanie zdania „dla każdej liczby” za prawdziwe po sprawdzeniu jednej liczby. Jeden przykład niczego nie dowodzi – ale jeden kontrprzykład wystarczy, żeby zdanie obalić.

Wzory fizyczne, przeliczniki, cenniki – wszystko to wyrażenia, w które podstawiasz swoje dane. Obliczenie wartości liczbowej to dokładnie ten moment, w którym ogólna reguła zamienia się w konkretną odpowiedź.