W zadaniach z procentami niewiadomą oznaczamy zwykle to, czego szukamy – a procent zamieniamy na mnożnik. Reszta to zwykłe równanie. Cała sztuka polega na tym, żeby wiedzieć, od czego liczony jest dany procent.
Procent jako mnożnik
| Zwrot | Mnożnik |
|---|---|
| $p\%$ liczby $x$ | $\frac{p}{100} \cdot x$ |
| podwyżka o 20% | $\cdot \, 1{,}2$ |
| obniżka o 20% | $\cdot \, 0{,}8$ |
| podwyżka o $p\%$ | $\cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)$ |
| obniżka o $p\%$ | $\cdot \left(1 – \frac{p}{100}\right)$ |
Najważniejsze pytanie: od czego liczymy?
Ten sam procent liczony od różnych podstaw daje różne kwoty. Jeśli cena wzrosła o 10%, a potem spadła o 10%, to nie wraca do punktu wyjścia – bo obniżka liczyła się już od wyższej ceny. Zawsze pytaj: procent czego?
Trzy typy zadań
- Szukamy procentu danej liczby: mnożymy. 30% z 250 to $0{,}3 \cdot 250 = 75$.
- Szukamy liczby, znając jej procent: układamy równanie. Jeśli 30% liczby $x$ to 75, piszemy $0{,}3x = 75$ i dzielimy.
- Szukamy, jakim procentem jedna liczba jest drugiej: dzielimy i zamieniamy na procent. $\frac{75}{250} = 0{,}3 = 30\%$.
Przykłady
1. Po obniżce o 20% kurtka kosztuje 240 zł. Ile kosztowała przed obniżką? Cena wyjściowa: $x$. Po obniżce: $0{,}8x$. Równanie: $0{,}8x = 240$, więc $x = 300$. Kosztowała 300 zł.
2. Cenę roweru podniesiono o 15% i wynosi teraz 1150 zł. Ile kosztował wcześniej? Równanie: $1{,}15x = 1150$, więc $x = 1000$. Kosztował 1000 zł.
3. W klasie 25% uczniów gra na instrumencie – to 7 osób. Ilu uczniów liczy klasa? Równanie: $0{,}25x = 7$, więc $x = 28$. Klasa liczy 28 uczniów.
4. Do 30 kg roztworu 10-procentowego dolano wody, otrzymując roztwór 6-procentowy. Ile wody dolano? Soli w roztworze było $0{,}1 \cdot 30 = 3$ kg – i tyle zostało, bo dolano tylko wody. Niech $x$ to masa dolanej wody. Nowy roztwór waży $30 + x$ i ma 6% soli: $0{,}06(30 + x) = 3$. Stąd $1{,}8 + 0{,}06x = 3$, czyli $0{,}06x = 1{,}2$ i $x = 20$. Dolano 20 kg wody.
Typowe błędy
- Liczenie procentu od nowej ceny zamiast od starej (albo odwrotnie). Podwyżkę liczy się od ceny sprzed podwyżki.
- „Odwracanie” obniżki przez podwyżkę o ten sam procent – to nie działa.
- W zadaniach z roztworami: liczenie procentu od masy substancji zamiast od masy całego roztworu.
Po co to się przydaje
Rabaty, promocje, podwyżki, odsetki od kredytu – to codzienność. Umiejętność cofnięcia się od ceny po obniżce do ceny sprzed obniżki pozwala sprawdzić, czy promocja jest prawdziwa, czy tylko tak wygląda.
Zgodne z: Matematyka z Plusem i Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Równania”.