Co to jest średnia

Gdy niektóre wartości powtarzają się wiele razy, nie trzeba ich wypisywać po kolei. Mnożymy wartość przez to, ile razy wystąpiła, dodajemy – i dzielimy przez łączną liczbę wystąpień.

Przykład zapisu: jeśli piątkę dostało 3 uczniów, czwórkę 5, a trójkę 2, to średnia wynosi:

$$\frac{5 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 + 5 + 2} = \frac{15 + 20 + 6}{10} = \frac{41}{10} = 4{,}1$$

W mianowniku zawsze stoi liczba elementów, a nie liczba różnych wartości.

Średnia z tabeli liczebności

W zadaniach dane najczęściej nie są wypisane po kolei, tylko zebrane w tabeli: w jednym wierszu wartości, w drugim – ile razy każda z nich wystąpiła. Taki wiersz nazywamy liczebnością (albo licznością).

Liczymy w trzech krokach.

1. Każdą wartość mnożymy przez jej liczebność i dodajemy wyniki: $2\cdot3+3\cdot7+4\cdot8+5\cdot5+6\cdot2=6+21+32+25+12=96$. To suma wszystkich ocen.
2. Dodajemy liczebności: $3+7+8+5+2=25$. To liczba wszystkich ocen.
3. Dzielimy: $\bar{x}=\frac{96}{25}=3{,}84$.

Najczęstszy błąd to podzielenie przez 5, bo w tabeli jest 5 różnych ocen. Wyszłoby $96:5=19{,}2$, czyli ocena, której nie ma na żadnej skali – i to jest sygnał, że coś poszło nie tak. W mianowniku stoi suma liczebności.

Te same dane można podać w postaci diagramu słupkowego. Wtedy wysokości słupków są liczebnościami, a podpisy pod nimi – wartościami.

Odczytujemy z niego dokładnie to samo, co z tabeli: dwójek 3, trójek 7, czwórek 8, piątek 5, szóstek 2. Rachunek jest identyczny.

Nie licz średniej ze średnich

Klasa 7a ma 20 uczniów i średnią ocen $3{,}95$, a klasa 7b – 25 uczniów i średnią $3{,}68$. Jaka jest średnia obu klas razem?

Kuszące jest $\frac{3{,}95+3{,}68}{2}\approx3{,}82$, ale to zły wynik: klasy mają różną liczbę uczniów, więc ocenom z 7b powinno przypadać większe znaczenie. Trzeba wrócić do sum:

• suma ocen klasy 7a: $3{,}95\cdot20=79$,
• suma ocen klasy 7b: $3{,}68\cdot25=92$,
• średnia razem: $\frac{79+92}{20+25}=\frac{171}{45}=3{,}8$.

Średnie wolno uśredniać tylko wtedy, gdy grupy są równoliczne. W każdym innym przypadku wracamy do sum i do łącznej liczby elementów.

Średnia potrafi ukryć skrajności. Zbiory $\{5, 5, 5\}$ i $\{1, 5, 9\}$ mają tę samą średnią 5, choć są zupełnie inne. Dlatego sama średnia to za mało – trzeba patrzeć też na rozrzut danych.

Średnia jest też wrażliwa na wartości odstające: jedna bardzo duża liczba potrafi zawyżyć wynik dla całej reszty.

Przykład: w pewnej firmie dziewięć osób zarabia po 3000 zł, a szef 30 000 zł. Średnia płaca wynosi $\frac{9\cdot3000+30000}{10}=\frac{57000}{10}=5700$ zł, choć nikt oprócz szefa tyle nie zarabia. Zdanie „średnia płaca wynosi 5700 zł” jest prawdziwe i jednocześnie mylące.

Przy zestawach z jedną bardzo dużą albo bardzo małą wartością warto podać dodatkowo wartość najmniejszą i największą – dopiero razem opisują dane uczciwie.

1. Oblicz średnią liczb: 4, 7, 9, 12.

$\frac{4 + 7 + 9 + 12}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

2. Uczeń ma oceny: 3, 4, 4, 5, 5, 5. Oblicz średnią.

$\frac{3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6} = \frac{3 + 8 + 15}{6} = \frac{26}{6} \approx 4{,}33$.

3. Średnia pięciu liczb wynosi 12. Jaka jest ich suma?

Ze wzoru: suma $= \bar{x} \cdot n = 12 \cdot 5 = 60$.

4. Średnia czterech ocen ucznia to 4. Jaką ocenę musi dostać z piątego sprawdzianu, żeby średnia wzrosła do $4{,}2$?

Suma czterech ocen: $4 \cdot 4 = 16$. Potrzebna suma pięciu: $4{,}2 \cdot 5 = 21$. Piąta ocena: $21-16 = 5$.

5. W cukierni sprawdzono, po ile gałek lodów kupowali klienci.

Klientów było $7+18+20+3+2=50$. Sprzedanych gałek: $1\cdot7+2\cdot18+3\cdot20+4\cdot3+5\cdot2=7+36+60+12+10=125$. Średnia: $\frac{125}{50}=2{,}5$ gałki na klienta.

6. W klubie trenują dwie drużyny koszykarzy: 11 zawodników o średnim wzroście 192 cm i 9 zawodników o średnim wzroście 187 cm. Jaki jest średni wzrost wszystkich koszykarzy?

Nie wolno uśredniać średnich, bo drużyny są różnej wielkości. Sumy wzrostów: $11\cdot192=2112$ i $9\cdot187=1683$. Razem: $\frac{2112+1683}{11+9}=\frac{3795}{20}=189{,}75$ cm.

7. Jurek miał z matematyki cztery oceny o średniej $3{,}5$. O ile wzrosła średnia, gdy dostał jeszcze szóstkę?

Suma czterech ocen: $3{,}5\cdot4=14$. Po piątej ocenie suma to $14+6=20$, a średnia $\frac{20}{5}=4$. Średnia wzrosła o $4-3{,}5=0{,}5$.

8. Średnia temperatura pierwszych dwunastu dni grudnia wyniosła $3^\circ$C, a pierwszych trzynastu dni $2^\circ$C. Jaką temperaturę zanotowano 13 grudnia?

Suma z 12 dni: $3\cdot12=36$. Suma z 13 dni: $2\cdot13=26$. Trzynastego dnia: $26-36=-10$, czyli $-10^\circ$C.

• Dzielenie przez liczbę różnych wartości zamiast przez liczbę wszystkich elementów.
• Liczenie średniej ze średnich – to zwykle daje zły wynik, jeśli grupy mają różną liczebność.
• Zapominanie o wartościach zerowych – one też liczą się do mianownika.
• Mylenie w tabeli liczebności wartości z liczbą jej wystąpień (mnożymy jedno przez drugie, a nie dodajemy).
• Zaokrąglanie w trakcie rachunku: najpierw dokładna suma, zaokrąglenie dopiero na końcu.
• Przyjmowanie wyniku, który nie mieści się między najmniejszą a największą wartością – to zawsze znak pomyłki.

Średnia ocen, średnia płaca, średnie spalanie, średnia temperatura – to najczęściej używana statystyka na świecie. Warto rozumieć jej ograniczenia: „średnia płaca” bywa myląca, bo kilku bardzo dużych zarobków wystarczy, by zawyżyć wynik dla wszystkich.