Co to jest średnia

Gdy niektóre wartości powtarzają się wiele razy, nie trzeba ich wypisywać po kolei. Mnożymy wartość przez to, ile razy wystąpiła, dodajemy – i dzielimy przez łączną liczbę wystąpień.

Przykład zapisu: jeśli piątkę dostało 3 uczniów, czwórkę 5, a trójkę 2, to średnia wynosi:

$$\frac{5 \cdot 3 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{3 + 5 + 2} = \frac{15 + 20 + 6}{10} = \frac{41}{10} = 4{,}1$$

W mianowniku zawsze stoi liczba elementów, a nie liczba różnych wartości.

Średnia potrafi ukryć skrajności. Zbiory $\{5, 5, 5\}$ i $\{1, 5, 9\}$ mają tę samą średnią 5, choć są zupełnie inne. Dlatego sama średnia to za mało – trzeba patrzeć też na rozrzut danych.

Średnia jest też wrażliwa na wartości odstające: jedna bardzo duża liczba potrafi zawyżyć wynik dla całej reszty.

1. Oblicz średnią liczb: 4, 7, 9, 12.

$\frac{4 + 7 + 9 + 12}{4} = \frac{32}{4} = 8$.

2. Uczeń ma oceny: 3, 4, 4, 5, 5, 5. Oblicz średnią.

$\frac{3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3}{6} = \frac{3 + 8 + 15}{6} = \frac{26}{6} \approx 4{,}33$.

3. Średnia pięciu liczb wynosi 12. Jaka jest ich suma?

Ze wzoru: suma $= \bar{x} \cdot n = 12 \cdot 5 = 60$.

4. Średnia czterech ocen ucznia to 4. Jaką ocenę musi dostać z piątego sprawdzianu, żeby średnia wzrosła do $4{,}2$?

Suma czterech ocen: $4 \cdot 4 = 16$. Potrzebna suma pięciu: $4{,}2 \cdot 5 = 21$. Piąta ocena: $21 – 16 = 5$.

• Dzielenie przez liczbę różnych wartości zamiast przez liczbę wszystkich elementów.
• Liczenie średniej ze średnich – to zwykle daje zły wynik, jeśli grupy mają różną liczebność.
• Zapominanie o wartościach zerowych – one też liczą się do mianownika.

Średnia ocen, średnia płaca, średnie spalanie, średnia temperatura – to najczęściej używana statystyka na świecie. Warto rozumieć jej ograniczenia: „średnia płaca” bywa myląca, bo kilku bardzo dużych zarobków wystarczy, by zawyżyć wynik dla wszystkich.