Zadania tekstowe

1. Co jest szukane? Tę wielkość oznacz przez $x$. Jeśli szukanych jest kilka, oznacz literą tę, przez którą najłatwiej wyrazić pozostałe.
2. Wyraź pozostałe wielkości przez $x$.
3. Znajdź warunek – zdanie mówiące, że coś jest równe czemuś. Zapisz je jako równanie.
4. Rozwiąż równanie.
5. Sprawdź i odpowiedz na pytanie zadania – nie na równanie.

Tak wygląda to w zeszycie. Zadanie: „W sadzie rosną śliwy, jabłonie i grusze. Jabłoni jest 2 razy więcej niż śliw, a grusz o 3 mniej niż jabłoni. Razem rośnie 17 drzew. Ile jest śliw, ile jabłoni, a ile grusz?”

1. Oznaczenia. $x$ – liczba śliw, $2x$ – liczba jabłoni, $2x-3$ – liczba grusz, 17 – liczba wszystkich drzew.

2. Równanie. Warunek „razem 17 drzew” zapisujemy jako sumę:

$$x + 2x + (2x-3) = 17$$

3. Rozwiązanie.

$$5x-3 = 17 \quad | + 3$$

$$5x = 20 \quad | : 5$$

$$x = 4$$

4. Powrót do pytania. Pytano o trzy liczby, nie o jedną. Śliw jest 4, jabłoni $2 \cdot 4 = 8$, grusz $2 \cdot 4-3 = 5$.

5. Sprawdzenie. $4 + 8 + 5 = 17$ – zgadza się. Jabłoni jest dwa razy więcej niż śliw ($8 = 2 \cdot 4$), a grusz o 3 mniej niż jabłoni ($5 = 8-3$). Wszystkie warunki treści są spełnione.

Odp. W sadzie rosną 4 śliwy, 8 jabłoni i 5 grusz.

Niewiadomą można było wybrać inaczej. Gdybyśmy oznaczyli przez $x$ liczbę jabłoni, śliw byłoby $\frac{1}{2}x$, a grusz $x-3$, i wyszłoby równanie $\frac{1}{2}x + x + (x-3) = 17$. Też poprawne, tylko z ułamkiem – dlatego opłaca się oznaczać tę wielkość, do której odnoszą się porównania („2 razy więcej niż śliw” – więc literą oznaczamy śliwy).

Jeśli pytają o wiek ojca, a oznaczyłeś literą wiek syna, to $x = 12$ nie jest odpowiedzią. Trzeba jeszcze policzyć wiek ojca. Sprawdzenie sensu też się liczy: ujemna liczba osób albo 300 lat wieku oznacza, że gdzieś jest błąd.

Sprawdzenie w zadaniu tekstowym robimy na treści, a nie na równaniu. To ważna różnica. Podstawienie wyniku do własnego równania wykryje pomyłkę w rachunkach, ale nie wykryje źle ułożonego równania. Dopiero powrót do treści („czy rzeczywiście jabłoni jest dwa razy więcej niż śliw? czy razem wychodzi 17?”) sprawdza całe rozwiązanie.

Warto też sprawdzić, czy wynik jest w ogóle możliwy. Liczba osób, monet czy butelek musi być liczbą naturalną. Jeśli z równania wychodzi 12,5 osoby – równanie jest źle ułożone.

Dwa ostatnie wiersze są kluczowe w zadaniach o monetach, biletach i punktach: liczba sztuk to nie to samo co wartość. Jeśli monet dwuzłotowych jest $x$, to sztuk jest $x$, ale złotych $2x$.

Suma i różnica

„Rower z koszykiem kosztuje 840 zł. Rower jest droższy od koszyka o 800 zł. Ile kosztuje rower, a ile koszyk?”

Rysunek odcinkowy pokazuje, o co chodzi: jeden odcinek to koszyk, drugi – rower, a razem mają 840.

Koszyk: $x$, rower: $x + 800$. Równanie: $x + (x + 800) = 840$, czyli $2x = 40$ i $x = 20$. Koszyk kosztuje 20 zł, rower $20 + 800 = 820$ zł. Sprawdzenie: $20 + 820 = 840$ i różnica wynosi 800. Zgadza się.

Odruch „840 : 2 = 420, a potem odejmę 800” jest pułapką – dlatego warto zaufać równaniu, a nie intuicji.

Części całości

„Na spotkaniu dwie piąte uczestników ogląda zdjęcia, a połowa przegląda mapy. Pozostałe cztery osoby robią coś innego. Ile osób jest na spotkaniu?”

Tu niewiadomą jest całość, bo to od niej liczone są wszystkie ułamki. Niech $x$ to liczba wszystkich uczestników:

$$\frac{2}{5}x + \frac{1}{2}x + 4 = x$$

Mnożymy obie strony przez 10: $4x + 5x + 40 = 10x$, czyli $40 = x$. Na spotkaniu jest 40 osób.

Ten sam schemat działa, gdy części są opisane słownie: „co czwarty” to $\frac{1}{4}x$, „jedna trzecia” to $\frac{1}{3}x$, „pozostałych 10” to reszta. Zawsze: suma wszystkich części musi dać całość $x$.

Zyski i straty

„Za każdy koszyk dojrzałych borówek zapłacę 2 zł, a za każdy koszyk niedojrzałych potrącę 4 zł. Wojtek przyniósł 45 koszyków i dostał 30 zł.”

Jeśli koszyków dojrzałych jest $x$, to niedojrzałych jest $45-x$ (bo razem jest 45). Zarobek: $2x$, potrącenie: $4(45-x)$. Warunek:

$$2x-4(45-x) = 30$$

$$2x-180 + 4x = 30 \quad \text{czyli} \quad 6x = 210 \quad \text{i} \quad x = 35$$

Dojrzałych było 35, niedojrzałych 10. Sprawdzenie: $35 \cdot 2-10 \cdot 4 = 70-40 = 30$. Zgadza się.

Uwaga na znak: kara odejmuje się. Najczęstszy błąd to napisanie $2x + 4(45-x) = 30$.

Przeniesienie z jednej grupy do drugiej

„Bartek ma 4 razy więcej naklejek niż Nina. Gdyby Bartek oddał Ninie 27 naklejek, oboje mieliby tyle samo.”

Nina: $x$, Bartek: $4x$. Po przekazaniu: Nina ma $x + 27$, Bartek ma $4x-27$. Warunek „tyle samo”:

$$4x-27 = x + 27$$

Stąd $3x = 54$ i $x = 18$. Nina ma 18 naklejek, Bartek $4 \cdot 18 = 72$.

Zapamiętaj: przy przeniesieniu jedna grupa traci tyle, ile druga zyskuje – łączna liczba się nie zmienia.

Zadania o wieku

„Dziadek jest teraz 5 razy starszy od Kuby, ale za 16 lat będzie starszy tylko 3 razy.”

Najlepiej rozpisać to w tabelce:

Warunek dotyczy przyszłości: wiek dziadka będzie wtedy 3 razy większy od wieku Kuby:

$$5x + 16 = 3(x + 16)$$

$$5x + 16 = 3x + 48 \quad \text{czyli} \quad 2x = 32 \quad \text{i} \quad x = 16$$

Kuba ma 16 lat, dziadek 80. Sprawdzenie: za 16 lat będą mieli 32 i 96, a $96 = 3 \cdot 32$. Zgadza się.

Klucz: obu osobom dodajemy (albo odejmujemy) tyle samo lat. Błąd polega zwykle na dodaniu 16 tylko jednej z nich albo na pomnożeniu przez 3 samego $x$ zamiast $x + 16$.

Tempo pracy

„Ekipa planowała układać po 24 metry chodnika dziennie, a układała po 18 metrów i skończyła 4 dni później.”

Tu niewiadomą warto zrobić czas z planu: $x$ – liczba planowanych dni. Wtedy faktycznie pracowano $x + 4$ dni. Długość chodnika jest ta sama, liczona na dwa sposoby:

$$24x = 18(x + 4)$$

$$24x = 18x + 72 \quad \text{czyli} \quad 6x = 72 \quad \text{i} \quad x = 12$$

Planowano 12 dni, a układano $12 + 4 = 16$ dni. Chodnik ma $24 \cdot 12 = 288$ metrów.

Gdy w zadaniu pojawia się figura, równanie powstaje z wzoru, który już znasz. Przypomnienie tych, które są potrzebne najczęściej:

• suma kątów trójkąta: $180^\circ$; w trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe;
• obwód prostokąta $2a + 2b$, pole prostokąta $ab$, pole kwadratu $a^2$;
• pole trójkąta $\frac{a \cdot h}{2}$, pole trapezu $\frac{(a + b) \cdot h}{2}$;
• pole czworokąta o prostopadłych przekątnych można policzyć, dzieląc go przekątną na dwa trójkąty;
• pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu: $2ab + 2ac + 2bc$.

Kąty trójkąta. „W pewnym trójkącie jeden z kątów jest 3 razy większy od drugiego i o $40^\circ$ mniejszy od trzeciego.” Najmniejszy kąt: $x$, środkowy: $3x$, największy: $3x + 40^\circ$.

$$x + 3x + (3x + 40^\circ) = 180^\circ$$

$$7x = 140^\circ \quad \text{czyli} \quad x = 20^\circ$$

Kąty mają $20^\circ$, $60^\circ$ i $100^\circ$. Sprawdzenie: $20 + 60 + 100 = 180$, a $60 = 3 \cdot 20$ i $100 = 60 + 40$. Zgadza się.

Pola figur. „Czworokąt $ABCD$ jest kwadratem o boku 14, a punkt $B$ leży na odcinku $AE$. Jaką długość powinien mieć odcinek $b = BE$, aby pole trapezu $AECD$ było o 70 większe od pola kwadratu?”

Trapez $AECD$ ma podstawy $AE = 14 + b$ oraz $DC = 14$ i wysokość $AD = 14$. Pole kwadratu to $14^2 = 196$, więc warunek brzmi:

$$\frac{(14 + b + 14) \cdot 14}{2} = 196 + 70$$

$$7(28 + b) = 266 \quad \text{czyli} \quad 28 + b = 38 \quad \text{i} \quad b = 10$$

Ten sam efekt można zobaczyć prościej: trapez to kwadrat plus trójkąt $BEC$ o przyprostokątnych $b$ i 14. Ten trójkąt ma mieć pole 70, więc $\frac{b \cdot 14}{2} = 70$, czyli $b = 10$. Warto przed liczeniem sprawdzić, czy figury nie da się rozbić na kawałki – rachunek bywa wtedy o połowę krótszy.

1. Ojciec ma 4 razy więcej lat niż syn, a razem mają 50 lat. Ile lat ma syn? Syn: $x$, ojciec: $4x$. Równanie: $x + 4x = 50$, czyli $5x = 50$, więc $x = 10$. Syn ma 10 lat (ojciec 40 – suma się zgadza).

2. Zeszyt i długopis kosztują razem 14 zł, przy czym zeszyt jest o 4 zł droższy od długopisu. Ile kosztuje zeszyt? Długopis: $x$, zeszyt: $x + 4$. Równanie: $x + (x + 4) = 14$, czyli $2x = 10$, więc $x = 5$. Długopis kosztuje 5 zł, a pytanie było o zeszyt: $5 + 4 = 9$ zł.

3. Obwód prostokąta wynosi 36 cm, a jeden bok jest 2 razy dłuższy od drugiego. Znajdź boki. Krótszy: $x$, dłuższy: $2x$. Obwód: $2x + 2 \cdot 2x = 36$, czyli $6x = 36$, więc $x = 6$. Boki: 6 cm i 12 cm.

4. Suma trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi 48. Znajdź te liczby. Pierwsza: $x$, kolejne: $x + 1$ i $x + 2$. Równanie: $x + (x+1) + (x+2) = 48$, czyli $3x + 3 = 48$, więc $3x = 45$ i $x = 15$. Liczby to 15, 16, 17.

5. W konkursie było 20 pytań; za dobrą odpowiedź 4 punkty, za złą $-3$ punkty. Julia zdobyła 45 punktów. Na ile pytań odpowiedziała dobrze? Dobrych: $x$, złych: $20-x$. Równanie: $4x-3(20-x) = 45$, czyli $4x-60 + 3x = 45$, $7x = 105$ i $x = 15$. 15 dobrych odpowiedzi (i 5 złych: $60-15 = 45$ punktów – zgadza się).

6. Za 5 lat Oliwia będzie 2 razy starsza, niż była 5 lat temu. Ile lat ma Oliwia? Teraz: $x$. Za 5 lat: $x + 5$. Pięć lat temu: $x-5$. Równanie: $x + 5 = 2(x-5)$, czyli $x + 5 = 2x-10$, więc $x = 15$. Oliwia ma 15 lat (za 5 lat 20, pięć lat temu 10, a $20 = 2 \cdot 10$).

7. W trapezie o polu 24 cm² wysokość wynosi 3 cm, a jedna podstawa jest o 7 cm krótsza od drugiej. Oblicz podstawy. Dłuższa: $x$, krótsza: $x-7$. Równanie: $\frac{(x + x-7) \cdot 3}{2} = 24$, czyli $3(2x-7) = 48$, $2x-7 = 16$, $2x = 23$ i $x = 11{,}5$. Podstawy mają 11,5 cm i 4,5 cm.

8. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach 9 cm i 4 cm. Jaką ma mieć wysokość, żeby pole powierzchni całkowitej wynosiło 228 cm²? Wysokość: $h$. Pole całkowite: $2 \cdot 9 \cdot 4 + 2 \cdot 9h + 2 \cdot 4h = 72 + 26h$. Równanie: $72 + 26h = 228$, czyli $26h = 156$ i $h = 6$. Wysokość 6 cm.

• Zatrzymanie się na wartości $x$ zamiast odpowiedzi na pytanie zadania.
• Zły kierunek relacji: „Ala jest starsza od Oli o 5” znaczy $A = O + 5$, a nie $O = A + 5$.
• Brak sprawdzenia sensu wyniku – ujemna cena czy 2,5 osoby to sygnał błędu.
• Mylenie liczby sztuk z wartością: $x$ dwuzłotówek to $x$ monet, ale $2x$ złotych.
• W zadaniach o wieku: dodanie lat tylko jednej osobie albo pomnożenie przez 3 samego $x$ zamiast całego $(x + 16)$.
• W zadaniach z karą: dodanie potrącenia zamiast odjęcia.
• W zadaniach o częściach całości: liczenie ułamków od reszty zamiast od całości (albo odwrotnie – gdy treść wyraźnie mówi „pozostałych”).
• Sprawdzanie wyniku przez podstawienie do własnego równania. To wykrywa tylko błąd rachunkowy; źle ułożone równanie zostanie niezauważone.

To jedyny temat w tym dziale, w którym matematyka realnie dotyka rzeczywistości. Umiejętność przetłumaczenia sytuacji na równanie przydaje się wszędzie – od podziału rachunku w restauracji po obliczenia w pracy.