Żeby odpowiedzieć na pytanie „jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$”, dzielimy $a$ przez $b$ i mnożymy wynik przez $100\%$. Zapisujemy to wzorem $\frac{a}{b} \cdot 100\%$.
Kluczowe pytanie: co jest całością
Największa trudność w tym temacie nie polega na rachunkach, tylko na rozpoznaniu, która liczba jest całością (stanowi $100\%$). Całość zawsze stoi po słowie „z”, „spośród” albo „liczby”.
- „Jakim procentem liczby 40 jest $10$?” – całością jest $40$.
- „Ile procent z 25 uczniów to $5$ osób?” – całością jest $25$.
Zamiana miejscami daje zupełnie inny wynik: $\frac{10}{40} = 25\%$, ale $\frac{40}{10} = 400\%$.
Jak czytać wynik
| Wynik | Co oznacza |
|---|---|
| mniej niż $100\%$ | część jest mniejsza od całości |
| dokładnie $100\%$ | część równa się całości |
| więcej niż $100\%$ | „część” jest większa od podstawy porównania |
Wynik powyżej stu nie jest błędem – pojawia się zawsze, gdy porównujemy coś większego do czegoś mniejszego. Nowa cena $50$ zł to $125\%$ starej ceny $40$ zł, i to jest zupełnie poprawne zdanie.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1. Jakim procentem liczby $80$ jest $20$?
$\frac{20}{80} \cdot 100\% = 0{,}25 \cdot 100\% = 25\%$.
Przykład 2. W klasie jest $30$ uczniów, w tym $12$ chłopców. Jaki procent stanowią chłopcy?
$\frac{12}{30} \cdot 100\% = 0{,}4 \cdot 100\% = 40\%$.
Przykład 3. Uczeń zdobył $18$ punktów z $24$ możliwych. Jaki to procent?
$\frac{18}{24} \cdot 100\% = 0{,}75 \cdot 100\% = 75\%$.
Przykład 4. Cena wzrosła z $40$ zł na $50$ zł. Ile procent starej ceny stanowi nowa?
$\frac{50}{40} \cdot 100\% = 1{,}25 \cdot 100\% = 125\%$. Nowa cena to $125\%$ starej – wynik większy od stu, bo cena wzrosła.
Przykład 5. Do $180$ g wody wsypano $20$ g soli. Jakie jest stężenie procentowe roztworu?
Uwaga na pułapkę: całością jest cały roztwór, czyli woda razem z solą. Masa roztworu to $180 + 20 = 200$ g. Zatem $\frac{20}{200} \cdot 100\% = 10\%$. Liczenie względem samej wody dałoby błędne $\frac{20}{180} \approx 11{,}1\%$.
Typowe błędy
- Odwrócenie ułamka – dzielenie całości przez część zamiast odwrotnie.
- Zapominanie o pomnożeniu przez $100\%$ i podawanie odpowiedzi jako $0{,}25$ zamiast $25\%$.
- Branie za całość liczby, która nie jest całością – na przykład sumy zamiast jednego ze składników.
- Zaokrąglanie w trakcie rachunku, przez co wynik traci dokładność.
Po co to się przydaje
To najczęstsze pytanie procentowe w praktyce: jaki procent zadań rozwiązałem, jaki procent budżetu poszedł na jedzenie, jaki procent głosów zdobyła partia. Sprowadzenie dwóch liczb do wspólnej skali „na sto” pozwala porównywać rzeczy, których wprost porównać się nie da – na przykład wyniki dwóch klas o różnej liczbie uczniów.
Zgodne z: Matematyka z Plusem i Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Procenty i proporcjonalność”.