Odcinki w układzie współrzędnych

Najprostszy przypadek – odcinek leży poziomo albo pionowo.

• Odcinek poziomy (końce mają tę samą rzędną $y$): długość to różnica pierwszych współrzędnych, od większej odejmujemy mniejszą.
• Odcinek pionowy (końce mają tę samą odciętą $x$): długość to różnica drugich współrzędnych.

Dla $A = (x_1, y)$ i $B = (x_2, y)$ mamy $|AB| = x_2 – x_1$, gdy $x_2 > x_1$. Odejmowanie zawsze wykonujemy tak, żeby wyszła liczba dodatnia – długość nie może być ujemna.

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców. Dla $A = (x_1, y_1)$ i $B = (x_2, y_2)$ środek $S$ ma współrzędne:

$$S = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

Wzór działa dla każdego odcinka – także ukośnego.

Długości odcinka ukośnego nie odczytasz z jednej różnicy współrzędnych. Możesz jednak dobudować prostokąt: poprowadź z końców odcinka linie poziomą i pionową. Powstaje trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne łatwo policzysz – i już wiesz, o ile jednostek trzeba przejść w bok i o ile w górę.

1. Oblicz długość odcinka o końcach $A = (-4, 3)$ i $B = (7, 3)$.

Rzędne są równe, więc odcinek jest poziomy: $|AB| = 7 – (-4) = 11$.

2. Oblicz długość odcinka $CD$, gdzie $C = (2, -5)$, $D = (2, 6)$.

Odcięte równe – odcinek pionowy: $|CD| = 6 – (-5) = 11$.

3. Znajdź środek odcinka o końcach $K = (-3, 8)$ i $L = (9, -2)$.

$x_S = \frac{-3 + 9}{2} = 3$, $y_S = \frac{8 + (-2)}{2} = 3$. Środek: $S = (3, 3)$.

4. Punkt $S = (1, -2)$ jest środkiem odcinka $AB$, przy czym $A = (-3, 4)$. Znajdź $B$.

Z $A$ do $S$ przechodzimy o $1 – (-3) = 4$ w prawo i o $-2 – 4 = -6$, czyli 6 w dół. Z $S$ do $B$ trzeba przejść dokładnie tyle samo: $B = (1 + 4, \; -2 – 6) = (5, -8)$.

• Dodawanie zamiast odejmowania przy liczeniu długości – i odwrotnie przy szukaniu środka.
• Gubienie minusa przy odejmowaniu liczb ujemnych: $7 – (-4)$ to $11$, a nie $3$.
• Podawanie ujemnej długości – jeśli wyszła, odejmowałeś w złej kolejności.
• Liczenie długości odcinka ukośnego jako różnicy współrzędnych – tak się nie da.

Każdy program graficzny, gra i nawigacja liczą odległości i punkty środkowe dokładnie tak. Wzór na środek odcinka wróci przy symetriach, wektorach i geometrii analitycznej w liceum.