Odcinki w układzie współrzędnych

Najprostszy przypadek – odcinek leży poziomo albo pionowo. Poznajesz go po współrzędnych końców, jeszcze zanim cokolwiek narysujesz.

• Odcinek poziomy (końce mają tę samą rzędną $y$): długość to różnica pierwszych współrzędnych, od większej odejmujemy mniejszą.
• Odcinek pionowy (końce mają tę samą odciętą $x$): długość to różnica drugich współrzędnych.

Dla $A = (x_1, y)$ i $B = (x_2, y)$ mamy $|AB| = x_2-x_1$, gdy $x_2 \gt x_1$. Odejmowanie zawsze wykonujemy tak, żeby wyszła liczba dodatnia – długość nie może być ujemna.

Najwięcej pomyłek bierze się z minusów. Warto rozpisać odejmowanie do końca:

• $3-(-4) = 3 + 4 = 7$ — odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie liczby przeciwnej;
• $-1-(-7) = -1 + 7 = 6$;
• $-2-(-9) = -2 + 9 = 7$.

Sprawdzenie jest darmowe: policz kratki na rysunku albo w wyobraźni. Jeżeli z rachunku wyszło $3$, a kratek jest $7$, zgubiłeś minus.

Współrzędne środka to średnie arytmetyczne współrzędnych końców. Dla $A = (x_1, y_1)$ i $B = (x_2, y_2)$ środek $S$ ma współrzędne:

$$S = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \; \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

Wzór działa dla każdego odcinka – także ukośnego.

Dlaczego średnia? Bo środek leży „w połowie drogi” — tak samo jak liczba $3$ leży w połowie drogi między $1$ a $5$ na osi liczbowej. Osobno uśredniamy odcięte i osobno rzędne.

Długości odcinka ukośnego nie odczytasz z jednej różnicy współrzędnych. Możesz jednak dobudować trójkąt prostokątny: z jednego końca poprowadź linię poziomą, z drugiego pionową. Przyprostokątne tego trójkąta łatwo policzysz – i już wiesz, o ile jednostek trzeba przejść w bok i o ile w górę.

Na rysunku z $A$ do $B$ przechodzimy o $5$ jednostek w prawo i o $4$ w górę. Sam odcinek $AB$ jest dłuższy od każdej z przyprostokątnych (czyli dłuższy niż $5$), ale krótszy niż $5 + 4 = 9$ — dokładną długość policzysz twierdzeniem Pitagorasa, gdy je poznasz. W zadaniach z tego działu długości liczymy tylko dla odcinków równoległych do osi.

Skoro umiemy liczyć długości odcinków poziomych i pionowych, umiemy też liczyć pola figur narysowanych w układzie. Jednostką pola jest kwadrat jednostkowy – kwadrat o boku równym jednostce.

Trójkąt. Szukamy boku równoległego do którejś z osi (dwa wierzchołki mają wtedy wspólną jedną współrzędną) i bierzemy go za podstawę. Wysokością jest odległość trzeciego wierzchołka od prostej zawierającej tę podstawę — czyli znowu różnica współrzędnych. Potem $P = \frac{1}{2} a h$.

Prostokąt o bokach równoległych do osi. Wystarczą dwa przeciwległe wierzchołki. Jeżeli $A = (-3,\ -2)$ i $C = (4,\ 2)$, to pozostałe wierzchołki powstają z „przemieszania” współrzędnych: $B$ bierze odciętą od $C$, a rzędną od $A$, czyli $B = (4,\ -2)$; punkt $D$ odwrotnie: $D = (-3,\ 2)$.

Czworokąt. Najpierw sprawdzamy, czy któreś boki albo przekątne są równoległe do osi.

• Dwa boki równoległe do tej samej osi — to trapez, liczymy $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$.
• Przekątna równoległa do osi — dzieli czworokąt na dwa trójkąty o wspólnej podstawie; pola dodajemy.
• Żadne z powyższych — obrysowujemy figurę prostokątem o bokach równoległych do osi i od jego pola odejmujemy pola trójkątów prostokątnych, które zostały na zewnątrz.

Ten trzeci sposób działa zawsze: prostokąt obrysu rozciąga się od najmniejszej do największej odciętej i od najmniejszej do największej rzędnej wierzchołków.

1. Oblicz długość odcinka o końcach $A = (-4, 3)$ i $B = (7, 3)$.

Rzędne są równe, więc odcinek jest poziomy: $|AB| = 7-(-4) = 7 + 4 = 11$.

2. Oblicz długość odcinka $CD$, gdzie $C = (2, -5)$, $D = (2, 6)$.

Odcięte równe – odcinek pionowy: $|CD| = 6-(-5) = 6 + 5 = 11$.

3. Znajdź środek odcinka o końcach $K = (-3, 8)$ i $L = (9, -2)$.

$x_S = \frac{-3 + 9}{2} = 3$, $y_S = \frac{8 + (-2)}{2} = 3$. Środek: $S = (3, 3)$.

4. Punkt $S = (1, -2)$ jest środkiem odcinka $AB$, przy czym $A = (-3, 4)$. Znajdź $B$.

Z $A$ do $S$ przechodzimy o $1-(-3) = 4$ w prawo i o $-2-4 = -6$, czyli 6 w dół. Z $S$ do $B$ trzeba przejść dokładnie tyle samo: $B = (1 + 4, \; -2-6) = (5, -8)$.

5. Podaj dwa punkty leżące na osi $x$ w odległości $6$ od punktu $P = (2,\ 0)$.

Idziemy od $P$ o $6$ jednostek w prawo i o $6$ w lewo: $(8,\ 0)$ oraz $(-4,\ 0)$. Takie zadania mają zwykle dwa rozwiązania — po jednym z każdej strony.

6. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A = (-2,\ -3)$, $B = (6,\ -3)$, $C = (2,\ 2)$.

Punkty $A$ i $B$ mają tę samą rzędną, więc $AB$ jest poziomy: $|AB| = 6-(-2) = 8$. Wysokość to odległość $C$ od prostej $y = -3$, czyli $2-(-3) = 5$. Pole: $P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$.

7. Odcinek o końcach $A = (1,\ 2)$ i $B = (5,\ 2)$ jest podstawą trójkąta $ABC$ o polu $8$. Jaką wysokość ma ten trójkąt?

$|AB| = 5-1 = 4$, więc $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot h = 8$, czyli $2h = 8$ i $h = 4$. Wierzchołek $C$ leży $4$ jednostki nad prostą $AB$ albo $4$ jednostki pod nią, np. $C = (3,\ 6)$ lub $C = (3,\ -2)$.

• Dodawanie zamiast odejmowania przy liczeniu długości – i odwrotnie przy szukaniu środka.
• Gubienie minusa przy odejmowaniu liczb ujemnych: $7-(-4)$ to $11$, a nie $3$.
• Podawanie ujemnej długości – jeśli wyszła, odejmowałeś w złej kolejności.
• Odejmowanie „nie tych” współrzędnych: w odcinku poziomym odejmujemy odcięte, w pionowym – rzędne.
• Liczenie długości odcinka ukośnego jako różnicy współrzędnych – tak się nie da.
• Branie za wysokość trójkąta długości boku ukośnego zamiast odległości wierzchołka od podstawy.
• Zapominanie o połowie we wzorze na pole trójkąta.

Każdy program graficzny, gra i nawigacja liczą odległości i punkty środkowe dokładnie tak. Tak samo działa obliczanie powierzchni działki z mapy: wystarczą współrzędne narożników. Wzór na środek odcinka wróci przy symetriach, wektorach i geometrii analitycznej w liceum.