Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych

Powtarzającą się grupę cyfr zapisujemy w nawiasie – to okres. Zapis $0{,}(6)$ oznacza $0{,}6666\ldots$, a $0{,}1(45)$ to $0{,}1454545\ldots$

Skróć ułamek do postaci nieskracalnej i przyjrzyj się mianownikowi. Jeśli da się go rozłożyć wyłącznie na dwójki i piątki, rozwinięcie będzie skończone. Jeśli pojawi się jakikolwiek inny czynnik pierwszy – wyjdzie okres.

• $\frac{7}{40}$, bo $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5$ – same dwójki i piątki, więc skończone.
• $\frac{5}{12}$, bo $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ – jest trójka, więc okresowe.

Przykład 1. Zamień $\frac{9}{16}$ na ułamek dziesiętny.

$16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$, więc spodziewamy się rozwinięcia skończonego. Dzielimy $9 : 16 = 0{,}5625$.

Przykład 2. Zamień $\frac{4}{11}$ na ułamek dziesiętny.

Mianownik $11$ nie rozkłada się na dwójki i piątki – będzie okres. Dzielenie daje $0{,}363636\ldots$, czyli $0{,}(36)$.

Przykład 3. Zapisz $0{,}(3)$ w postaci ułamka zwykłego.

Wystarczy pamiętać, że $\frac{1}{3} = 0{,}(3)$. Zatem $0{,}(3) = \frac{1}{3}$.

Przykład 4. Jaka cyfra stoi na setnym miejscu po przecinku w rozwinięciu $\frac{1}{7} = 0{,}(142857)$?

Okres ma $6$ cyfr. Dzielimy $100 : 6 = 16$ reszty $4$. Po szesnastu pełnych powtórzeniach zostają jeszcze cztery cyfry okresu: $1$, $4$, $2$, $8$. Setną cyfrą jest $8$.

• Ocenianie rodzaju rozwinięcia bez wcześniejszego skrócenia ułamka – $\frac{6}{12}$ wygląda groźnie, ale to po prostu $\frac{1}{2} = 0{,}5$.
• Zapisywanie okresu jako $0{,}66$ zamiast $0{,}(6)$ – to dwie różne liczby.
• Zaznaczanie w nawiasie zbyt wielu cyfr, na przykład $0{,}(1666)$ zamiast $0{,}1(6)$.
• Mylenie rozwinięcia nieskończonego z „nieskończenie dużą liczbą” – $0{,}(6)$ jest mniejsze od $1$.

Kalkulator zawsze pokaże ułamek dziesiętny i obetnie go po kilkunastu cyfrach. Jeśli wiesz, że $\frac{1}{3}$ ma rozwinięcie okresowe, nie dasz się zwieść wyświetlonemu $0{,}3333333$ i będziesz umiał wrócić do dokładnego wyniku. Ta umiejętność ratuje przy porównywaniu ułamków i przy sprawdzaniu, czy wynik zadania jest dokładny, czy tylko przybliżony.