W wyrażeniu arytmetycznym najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem potęgowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Działania tego samego stopnia liczymy po kolei od lewej do prawej.
Kolejność działań
| Krok | Co liczymy |
|---|---|
| 1 | nawiasy (od najbardziej wewnętrznych) |
| 2 | potęgi |
| 3 | mnożenie i dzielenie – od lewej do prawej |
| 4 | dodawanie i odejmowanie – od lewej do prawej |
Zapis ułamkowy sam pełni rolę nawiasu: kreska ułamkowa oznacza, że licznik i mianownik liczymy osobno, a dopiero potem dzielimy. W wyrażeniu $\frac{8 + 4}{3}$ najpierw dodajemy, więc wynik to $\frac{12}{3} = 4$.
Dlaczego kolejność ma znaczenie
Bo bez niej to samo wyrażenie dawałoby różne wyniki. Porównaj:
- $2 + 3 \cdot 5 = 2 + 15 = 17$ – mnożenie ma pierwszeństwo
- $(2 + 3) \cdot 5 = 5 \cdot 5 = 25$ – nawias zmienia kolejność
Ta sama trójka liczb, dwie różne odpowiedzi. Nawias jest więc narzędziem, którym sterujesz przebiegiem rachunku.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1. Oblicz $18 – 4 \cdot 3 + 6 : 2$.
Najpierw mnożenie i dzielenie: $18 – 12 + 3$. Potem od lewej: $6 + 3 = 9$.
Przykład 2. Oblicz $(7 – 2)^2 : 5 + 1$.
Nawias: $(7 – 2)^2 = 5^2 = 25$. Dzielenie: $25 : 5 = 5$. Dodawanie: $5 + 1 = 6$.
Przykład 3. Oblicz $\frac{3}{4} \cdot \left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right)$.
Zaczynamy od nawiasu: $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Teraz mnożymy: $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.
Przykład 4. Oblicz $24 : 6 : 2$.
Same dzielenia, więc idziemy od lewej: $24 : 6 = 4$, a następnie $4 : 2 = 2$. Gdyby ktoś zaczął od prawej, dostałby $24 : 3 = 8$ – i byłby to błąd.
Typowe błędy
- Liczenie po kolei od lewej do prawej bez uwzględniania pierwszeństwa mnożenia.
- Wykonywanie odejmowania przed dodawaniem tylko dlatego, że „minus wygląda groźniej” – oba są tego samego stopnia.
- Gubienie nawiasu przy przepisywaniu wyrażenia do następnej linijki.
- Traktowanie kreski ułamkowej jak zwykłego dzielenia i pomijanie ukrytych nawiasów.
Po co to się przydaje
Kolejność działań to gramatyka matematyki – bez niej zapisy byłyby wieloznaczne. Ta sama reguła obowiązuje w arkuszu kalkulacyjnym, w kalkulatorze naukowym i w każdym języku programowania. Jeśli opanujesz ją teraz, przy wyrażeniach algebraicznych i równaniach nie będziesz się już nad nią zastanawiać.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Liczby i działania”.
Zadania
Zadanie 1
Zadanie 2
Które działanie trzeba wykonać jako pierwsze? Wykonaj obliczenia, w miarę możliwości w pamięci.
Zadanie 3
Organizator wyjazdu rezerwuje bilety dla $32$ osób. Bilet wstępu kosztuje $18{,}40$ zł od osoby, a usługa przewodnika dla całej grupy kosztuje $160$ zł. Jaką kwotę powinien wpłacić każdy uczestnik, aby po równo pokryć te koszty?
A. $18{,}90$ zł
B. $5$ zł
C. $23{,}40$ zł
D. $178{,}40$ zł
Zadanie 4
Wypożyczenie roweru wymaga opłaty początkowej. Wynosi ona $12{,}50$ zł, a dodatkowo za każdą godzinę korzystania z roweru płaci się $3{,}40$ zł. Ile kosztuje wypożyczenie roweru na $6$ godzin?
A. $15{,}90$ zł
B. $32{,}90$ zł
C. $95{,}40$ zł
D. $204{,}50$ zł
Zadanie 5
Na karcie pamięci zapisano $3{,}2$ GB danych. Filmy zajmowały $0{,}75$ tej ilości. Usunięto $\frac{5}{6}$ danych zajmowanych przez filmy, a wszystkie pozostałe pliki pozostawiono bez zmian. Ile gigabajtów danych zostało na karcie?
Zadanie 6
Podczas próby trzy występy trwały łącznie $96$ minut, nie licząc przerw. Po każdym występie następowała jednakowa przerwa. Pierwszy występ wraz z następującą po nim przerwą trwał $31\frac{1}{4}$ minuty, a drugi wraz z przerwą trwał $34{,}6$ minuty. Wszystkie trzy przerwy trwały razem $5\frac{1}{4}$ minuty. Ile minut trwał trzeci występ bez przerwy?
Zadanie 7
Robot miał przejechać trasę długości $12$ m. Wydłużono ją o $3{,}6$ m. Robot poruszał się odcinkami po $\frac{9}{20}$ m, zatrzymując się po każdym z nich. Gdy do końca trasy pozostało $3{,}9$ m, ponownie się zatrzymał. Ile takich odcinków przejechał?
Zadanie 8
Trasa spacerowa ma długość $0{,}75$ km. Odcinek leśny stanowi $\frac{19}{25}$ całej trasy, odcinek wzdłuż jeziora stanowi $\frac{3}{25}$, a pozostała część prowadzi przez łąkę. Ile metrów ma odcinek przez łąkę?
Zadanie 9
Sieć szlaków w parku ma łącznie $80$ km. Pracownicy sprawdzili oznakowanie na sześciu różnych odcinkach: jednym długości $20$ km, dwóch po $3$ km i trzech po $0{,}4$ km. Ile kilometrów szlaków pozostało do sprawdzenia?