Działania na potęgach

Zasada wyboru: gdy podstawy są równe – patrzysz na wykładniki (dodajesz albo odejmujesz). Gdy wykładniki są równe – patrzysz na podstawy (mnożysz albo dzielisz).

Przy skomplikowanym wyrażeniu opłaca się działać w tej kolejności:

1. Sprowadź podstawy do wspólnej. Jeśli widzisz 4, 8, 16, 32, 64 – wszystko to potęgi dwójki; 9, 27, 81 – potęgi trójki; 25, 125, 625 – potęgi piątki.
2. Rozwiń potęgi potęg i potęgi iloczynów. $(2^3)^4$ zamień na $2^{12}$, a $12^8$ na $3^8 \cdot 4^8$.
3. Dopiero teraz dodawaj i odejmuj wykładniki – osobno dla każdej podstawy.

Zobacz to na jednym przykładzie, krok po kroku: $\dfrac{2^{11}}{27} \cdot \dfrac{3^{10}}{16}$.

1. wspólne podstawy: $27 = 3^3$, $16 = 2^4$, więc wyrażenie to $\dfrac{2^{11}}{3^3} \cdot \dfrac{3^{10}}{2^4}$
2. grupuję dwójki z dwójkami, trójki z trójkami: $\dfrac{2^{11}}{2^4} \cdot \dfrac{3^{10}}{3^3}$
3. odejmuję wykładniki: $2^7 \cdot 3^7$
4. wykładniki są równe, więc łączę podstawy: $(2 \cdot 3)^7 = 6^7$

Takich liczb nie potęgujemy „na piechotę”. Rozbijamy je na iloczyn cyfry i potęgi dziesiątki (albo potęgi $0{,}1$) i korzystamy ze wzoru na potęgę iloczynu:

• $30^3 = (3 \cdot 10)^3 = 3^3 \cdot 10^3 = 27 \cdot 1000 = 27\,000$
• $300^4 = (3 \cdot 10^2)^4 = 3^4 \cdot 10^8 = 81 \cdot 10^8 = 8\,100\,000\,000$
• $0{,}3^5 = (3 \cdot 0{,}1)^5 = 3^5 \cdot 0{,}1^5 = 243 \cdot 0{,}00001 = 0{,}00243$
• $0{,}07^3 = (7 \cdot 0{,}01)^3 = 7^3 \cdot 0{,}01^3 = 343 \cdot 0{,}000001 = 0{,}000343$

Dzięki temu wystarczy znać potęgi jednej cyfry – resztę załatwiają zera. Jeśli masz tabelę z $7^4 = 2401$, to $700^4 = 7^4 \cdot 10^8 = 2401 \cdot 10^8$, a $0{,}07^4 = 7^4 \cdot 0{,}01^4 = 2401 \cdot 0{,}00000001 = 0{,}00002401$.

„Połowa liczby $2^{24}$” to po prostu $2^{24} : 2$, czyli $2^{23}$. Kłopot zaczyna się, gdy dzielnik nie jest podstawą – wtedy najpierw sprowadzamy liczbę do podstawy, przez którą dzielimy:

• połowa liczby $4^{50}$: $4^{50} = (2^2)^{50} = 2^{100}$, więc połowa to $2^{100} : 2 = 2^{99}$
• piąta część liczby $25^7$: $25^7 = 5^{14}$, więc piąta część to $5^{13}$
• trzecia część liczby $9^{40}$: $9^{40} = 3^{80}$, więc trzecia część to $3^{79}$

Przy potęgach dziesiątki dzielimy sprytniej – rozmieniamy jedno zero na czynniki. Liczba 5 razy mniejsza od $10^{12}$ to

$$10^{12} : 5 = 10^{11} \cdot 10 : 5 = 10^{11} \cdot 2 = 2 \cdot 10^{11}$$

czyli dokładnie 2 razy więcej niż $10^{11}$. Tak samo $10^{14} : 4 = 10^{12} \cdot 100 : 4 = 25 \cdot 10^{12}$, a to 25 razy więcej niż $10^{12}$.

Zero na końcu liczby bierze się wyłącznie z pary czynników $2 \cdot 5 = 10$. Ile takich par, tyle zer. Wystarczy więc rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze i policzyć, ile mamy dwójek, a ile piątek – decyduje mniejsza z tych liczb.

• $2^7 \cdot 5^4$: siedem dwójek i cztery piątki, więc 4 pary. Liczba kończy się czterema zerami ($2^7 \cdot 5^4 = 2^3 \cdot 10^4 = 80\,000$).
• $8 \cdot 5^7 = 2^3 \cdot 5^7$: trzy dwójki, siedem piątek, więc trzy zera.
• $6^5 \cdot 15^3 = (2 \cdot 3)^5 \cdot (3 \cdot 5)^3 = 2^5 \cdot 3^8 \cdot 5^3$: pięć dwójek, trzy piątki, więc trzy zera.

Wszystkie pięć wzorów dotyczy mnożenia i dzielenia. Przy dodawaniu nie ma cudów – $2^3 + 2^4$ nie zapiszemy jako jednej potęgi w prosty sposób. Ale bywają wyjątki, gdy składniki są identyczne:

$$2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$$

$$3^n + 3^n + 3^n = 3 \cdot 3^n = 3^{n+1}$$

Reguła jest prosta: tyle samo jednakowych składników, ile wynosi podstawa – wykładnik rośnie o 1. Pięć składników $5^n$ da $5^{n+1}$, cztery składniki $4^n$ dadzą $4^{n+1}$.

Taką sumę można potem jeszcze potęgować. Na przykład $(3^n + 3^n + 3^n)^2 = (3^{n+1})^2 = 3^{2n+2} = 3^2 \cdot (3^2)^n = 9 \cdot 9^n$.

Ta sztuczka pojawia się w zadaniach na dowodzenie i warto ją znać.

Przykład 1. Uprość $\frac{2^{10} \cdot 3^{10}}{6^8}$.

Licznik: wspólny wykładnik, więc $2^{10} \cdot 3^{10} = 6^{10}$. Zatem $\frac{6^{10}}{6^8} = 6^2 = 36$.

Przykład 2. Oblicz $\frac{9^3 \cdot 3^2}{27^2}$.

Sprowadzam do podstawy 3: $9^3 = 3^6$, $27^2 = 3^6$. Zatem $\frac{3^6 \cdot 3^2}{3^6} = 3^2 = 9$.

Przykład 3. Oblicz $\frac{5^{12}}{5^9 \cdot 5^2}$.

Mianownik: $5^{9+2} = 5^{11}$. Zatem $5^{12-11} = 5^1 = 5$.

Przykład 4. Ile wynosi $\frac{4^n + 4^n + 4^n + 4^n}{4^n}$?

Licznik to cztery identyczne składniki, czyli $4 \cdot 4^n = 4^{n+1}$. Zatem $\frac{4^{n+1}}{4^n} = 4$.

Przykład 5. Oblicz $\dfrac{3^9 \cdot 4^{10}}{12^8}$.

Rozbijam mianownik: $12^8 = (3 \cdot 4)^8 = 3^8 \cdot 4^8$. Teraz każda podstawa osobno: $\dfrac{3^9}{3^8} \cdot \dfrac{4^{10}}{4^8} = 3 \cdot 4^2 = 3 \cdot 16 = 48$.

Przykład 6. Ustal $m$ i $n$: $(3^8 \cdot 3^4 \cdot 5^3)^2 = 3^m \cdot 5^n$.

Najpierw porządkuję nawias: $3^8 \cdot 3^4 = 3^{12}$, więc w nawiasie jest $3^{12} \cdot 5^3$. Podnoszę do kwadratu każdy czynnik: $(3^{12})^2 \cdot (5^3)^2 = 3^{24} \cdot 5^6$. Zatem $m = 24$, $n = 6$.

Przykład 7. Przedstaw $14^4 \cdot 35^3$ w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych.

Rozkładam podstawy: $14 = 2 \cdot 7$, $35 = 5 \cdot 7$. Stąd $14^4 = 2^4 \cdot 7^4$ oraz $35^3 = 5^3 \cdot 7^3$. Razem: $2^4 \cdot 5^3 \cdot 7^4 \cdot 7^3 = 2^4 \cdot 5^3 \cdot 7^7$.

Przykład 8. Która liczba jest większa i ile razy: $(5^2)^6$ czy $5^2 \cdot 5^6$?

Pierwsza: wykładniki mnożę, $5^{12}$. Druga: wykładniki dodaję, $5^8$. Większa jest pierwsza, a ile razy – dzielę: $5^{12} : 5^8 = 5^4 = 625$ razy.

• Stosowanie wzorów do sumy. $2^3 + 2^5 \neq 2^8$.
• Mieszanie reguł – dodawanie wykładników przy potęgowaniu potęgi.
• Zapominanie o sprowadzeniu do wspólnej podstawy. Wyrażenia $\frac{8^4}{2^{10}}$ nie da się uprościć bez zauważenia, że $8 = 2^3$.
• Dzielenie wykładnika zamiast liczby. Połowa liczby $2^{24}$ to $2^{23}$, a nie $2^{12}$.
• Potęgowanie tylko części nawiasu. W $(2 \cdot 5^3)^4$ dwójka też idzie do czwartej potęgi.
• Liczenie zer z samych piątek albo samych dwójek. Zero robi dopiero para $2 \cdot 5$.

Te wzory to podstawowe narzędzie rachunkowe w fizyce, informatyce i całej dalszej matematyce. Na nich opierają się przedrostki jednostek – kilo to $10^3$, mega $10^6$, giga $10^9$, tera $10^{12}$ – więc pytanie „ile megabajtów mieści terabajt” to zwykłe dzielenie potęg: $10^{12} : 10^6 = 10^6$. Bez tych wzorów obliczenia na wielkich lub bardzo małych liczbach – masa atomu, pojemność dysku, odległość galaktyk – byłyby nie do przeprowadzenia na kartce.