Znasz już pięć wzorów na potęgach. Razem pozwalają uprościć wyrażenia, które na pierwszy rzut oka wyglądają na potworne. Cała sztuka to wiedzieć, który wzór kiedy zadziała.
Pięć wzorów w jednym miejscu
| Wzór | Kiedy |
|---|---|
| $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | mnożenie, ta sama podstawa |
| $a^m : a^n = a^{m-n}$ | dzielenie, ta sama podstawa |
| $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | potęga potęgi |
| $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ | ten sam wykładnik, mnożenie |
| $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ | ten sam wykładnik, dzielenie |
Zasada wyboru: gdy podstawy są równe – patrzysz na wykładniki (dodajesz albo odejmujesz). Gdy wykładniki są równe – patrzysz na podstawy (mnożysz albo dzielisz).
Strategia upraszczania
Przy skomplikowanym wyrażeniu opłaca się działać w tej kolejności:
- Sprowadź podstawy do wspólnej. Jeśli widzisz 4, 8, 16 – wszystko to potęgi dwójki.
- Rozwiń potęgi potęg. $(2^3)^4$ zamień na $2^{12}$.
- Dopiero teraz dodawaj i odejmuj wykładniki.
Sumy potęg – pułapka
Wszystkie pięć wzorów dotyczy mnożenia i dzielenia. Przy dodawaniu nie ma cudów – $2^3 + 2^4$ nie zapiszemy jako jednej potęgi w prosty sposób. Ale bywają wyjątki, gdy składniki są identyczne:
$$2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$$
$$3^n + 3^n + 3^n = 3 \cdot 3^n = 3^{n+1}$$
Ta sztuczka pojawia się w zadaniach na dowodzenie i warto ją znać.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1. Uprość $\frac{2^{10} \cdot 3^{10}}{6^8}$.
Licznik: wspólny wykładnik, więc $2^{10} \cdot 3^{10} = 6^{10}$. Zatem $\frac{6^{10}}{6^8} = 6^2 = 36$.
Przykład 2. Oblicz $\frac{9^3 \cdot 3^2}{27^2}$.
Sprowadzam do podstawy 3: $9^3 = 3^6$, $27^2 = 3^6$. Zatem $\frac{3^6 \cdot 3^2}{3^6} = 3^2 = 9$.
Przykład 3. Oblicz $\frac{5^{12}}{5^9 \cdot 5^2}$.
Mianownik: $5^{9+2} = 5^{11}$. Zatem $5^{12-11} = 5^1 = 5$.
Przykład 4. Ile wynosi $\frac{4^n + 4^n + 4^n + 4^n}{4^n}$?
Licznik to cztery identyczne składniki, czyli $4 \cdot 4^n = 4^{n+1}$. Zatem $\frac{4^{n+1}}{4^n} = 4$.
Typowe błędy
- Stosowanie wzorów do sumy. $2^3 + 2^5 \neq 2^8$.
- Mieszanie reguł – dodawanie wykładników przy potęgowaniu potęgi.
- Zapominanie o sprowadzeniu do wspólnej podstawy. Wyrażenia $\frac{8^4}{2^{10}}$ nie da się uprościć bez zauważenia, że $8 = 2^3$.
Po co to się przydaje
Te wzory to podstawowe narzędzie rachunkowe w fizyce, informatyce i całej dalszej matematyce. Bez nich obliczenia na wielkich lub bardzo małych liczbach – masa atomu, pojemność dysku, odległość galaktyk – byłyby nie do przeprowadzenia na kartce.
Zgodne z: Matematyka z Plusem i Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Potęgi i pierwiastki”.