Kartka w kratkę to gotowy układ współrzędnych – a punkty kratowe (przecięcia linii) pozwalają rysować i analizować figury bez cyrkla i kątomierza. Wystarczy liczyć kratki.
Przesunięcie o wektor
Ruch po kratkach opisujemy parą liczb: ile w prawo (lub w lewo) i ile w górę (lub w dół). Jeśli punkt $A = (x, y)$ przesuniemy o $[p, q]$, to trafi w:
$$A’ = (x + p, \; y + q)$$
Liczba dodatnia to ruch w prawo/w górę, ujemna – w lewo/w dół. Przesuwając całą figurę, przesuwamy każdy jej wierzchołek o to samo. Figura po przesunięciu jest przystająca do wyjściowej – nie zmienia się ani jej kształt, ani wielkość.
Odbicia względem osi
| Odbicie | Punkt $(x, y)$ przechodzi na |
|---|---|
| względem osi $x$ | $(x, -y)$ |
| względem osi $y$ | $(-x, y)$ |
| względem początku układu | $(-x, -y)$ |
Zapamiętaj sens: odbicie w osi $x$ to „przewrócenie” figury w pionie, więc zmienia się znak $y$. Odbicie w osi $y$ zmienia znak $x$.
Równoległość i prostopadłość na kratce
Nachylenie odcinka opisujemy tak: „$q$ kratek w górę na $p$ kratek w prawo”. Dwa odcinki o tym samym nachyleniu są równoległe. Odcinki prostopadłe rozpoznasz po zamianie: jeśli jeden idzie 3 w prawo i 1 w górę, to prostopadły do niego idzie 1 w lewo i 3 w górę – liczby zamieniają się miejscami, a jedna zmienia znak.
Przykłady
1. Punkt $A = (-2, 5)$ przesunięto o $[6, -8]$. Gdzie trafił?
$A’ = (-2 + 6, \; 5 – 8) = (4, -3)$.
2. Trójkąt ma wierzchołki $(1, 1)$, $(4, 1)$, $(1, 5)$. Odbij go względem osi $y$.
Zmieniamy znak pierwszej współrzędnej: $(-1, 1)$, $(-4, 1)$, $(-1, 5)$. Trójkąt jest przystający do wyjściowego.
3. Punkt $B = (3, -1)$ przesunięto o pewien wektor i trafił w $B’ = (-2, 4)$. Jaki to wektor?
$p = -2 – 3 = -5$, $q = 4 – (-1) = 5$. Wektor: $[-5, 5]$, czyli 5 kratek w lewo i 5 w górę.
4. Oblicz pole czworokąta o wierzchołkach $(0, 0)$, $(4, 0)$, $(5, 3)$, $(1, 3)$.
Boki $(0,0)-(4,0)$ i $(1,3)-(5,3)$ są poziome i oba mają długość 4. Boki pozostałe też są do siebie równoległe (oba idą 1 w prawo i 3 w górę). To równoległobok o podstawie 4 i wysokości 3 (różnica $y$). Pole: $4 \cdot 3 = 12$ $j^2$.
Typowe błędy
- Przesuwanie tylko jednego wierzchołka zamiast wszystkich – figura się wtedy deformuje.
- Mylenie odbicia w osi $x$ z odbiciem w osi $y$ – sprawdź na jednym punkcie, gdzie powinien wylądować.
- Liczenie kratek zamiast jednostek, gdy jednostka na osi to nie jedna kratka.
Po co to się przydaje
Wszystkie przesunięcia i odbicia obiektów w grach, edytorach graficznych i projektowaniu to dokładnie te operacje na współrzędnych. Kratka to też najprostszy sposób szacowania pola nieregularnego kształtu – liczysz kwadraciki. Ten temat przygotowuje do symetrii i wektorów w klasie 8.
Zgodne z: Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Układ współrzędnych”.