Żeby obliczyć, o ile procent liczba $a$ jest większa (lub mniejsza) od liczby $b$, dzielimy różnicę przez $b$ i mnożymy przez $100\%$: $\frac{a – b}{b} \cdot 100\%$. Kluczowe jest to, że dzielimy przez liczbę, do której porównujemy – czyli tę po słowie „od” lub „niż”.
Podstawa porównania
To ta liczba, względem której mierzymy zmianę. Ona stanowi $100\%$.
- „O ile procent $60$ jest większe od $50$?” – podstawą jest $50$: $\frac{10}{50} = 20\%$.
- „O ile procent $50$ jest mniejsze od $60$?” – podstawą jest $60$: $\frac{10}{60} \approx 16{,}7\%$.
Ta sama para liczb, dwa różne wyniki. To nie jest sprzeczność – po prostu porównujemy do czegoś innego. Dlatego w zadaniach trzeba uważnie czytać, co jest punktem odniesienia.
Punkty procentowe
Gdy porównujemy dwie wielkości, które same są procentami, używamy punktów procentowych. Jeśli poparcie wzrosło z $20\%$ na $25\%$, to wzrosło o $5$ punktów procentowych, ale o $25\%$ w sensie względnym (bo $\frac{5}{20} = 25\%$).
| Sformułowanie | Co znaczy |
|---|---|
| wzrost o $5$ punktów procentowych | z $20\%$ na $25\%$ |
| wzrost o $5\%$ | z $20\%$ na $21\%$ |
Różnica jest ogromna, a media często ją mylą – warto umieć to wyłapać.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1. O ile procent liczba $75$ jest większa od $60$?
Różnica: $15$. Podstawa: $60$. $\frac{15}{60} \cdot 100\% = 25\%$.
Przykład 2. O ile procent liczba $60$ jest mniejsza od $75$?
Różnica: $15$. Podstawa: $75$. $\frac{15}{75} \cdot 100\% = 20\%$. Inny wynik niż wyżej – bo inna podstawa.
Przykład 3. Cena wzrosła z $40$ zł na $46$ zł. O ile procent?
$\frac{6}{40} \cdot 100\% = 15\%$.
Przykład 4. Frekwencja wzrosła z $48\%$ na $54\%$. Zapisz zmianę na dwa sposoby.
Wzrost o $6$ punktów procentowych. Względnie: $\frac{6}{48} \cdot 100\% = 12{,}5\%$.
Typowe błędy
- Dzielenie przez złą liczbę – najczęstszy błąd w całym dziale.
- Zakładanie, że „$a$ większe od $b$ o $20\%$” znaczy to samo co „$b$ mniejsze od $a$ o $20\%$” – nie znaczy.
- Mylenie punktów procentowych z procentami.
- Odejmowanie procentów od procentów bez zastanowienia, co jest podstawą.
Po co to się przydaje
Tak opisuje się każdą zmianę w czasie: inflacja, wzrost zarobków, spadek bezrobocia, zmiana sondażowa. Kto rozumie, do czego się porównuje, ten nie da się zmanipulować nagłówkiem w stylu „wzrost o $200\%$” – i sam potrafi ocenić, czy zmiana jest duża, czy tylko brzmi efektownie.
Zgodne z: Matematyka z Plusem i Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Procenty i proporcjonalność”.