Proporcjonalność prosta

Wystarczy sprawdzić, czy iloraz odpowiadających sobie wartości jest zawsze taki sam.

Iloraz jest stały i wynosi $25$ – to cena jednego biletu. Wielkości są wprost proporcjonalne, a zależność opisuje wzór $y = 25x$.

Nie każda rosnąca zależność jest proporcjonalna. Wiek człowieka i jego wzrost rosną razem, ale dwa razy starszy nie znaczy dwa razy wyższy. Podobnie taksówka z opłatą początkową: przy kursie $2$ razy dłuższym cena nie podwaja się, bo do wszystkiego dochodzi stała opłata za trzaśnięcie drzwiami.

Proporcja to równość dwóch ilorazów: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Rozwiązujemy ją mnożeniem na krzyż: $a \cdot d = b \cdot c$. To najwygodniejsze narzędzie do zadań o proporcjonalności.

Przykład 1. $4$ zeszyty kosztują $18$ zł. Ile kosztuje $7$ zeszytów?

Układamy proporcję: $\frac{4}{18} = \frac{7}{x}$. Mnożymy na krzyż: $4x = 126$, więc $x = 31{,}50$ zł.

Przykład 2. Samochód jedzie ze stałą prędkością i w $3$ godziny pokonuje $210$ km. Ile pokona w $5$ godzin?

$\frac{3}{210} = \frac{5}{x}$, stąd $3x = 1050$, czyli $x = 350$ km.

Przykład 3. Na mapie w skali $1{:}50\,000$ odcinek ma $4$ cm. Ile to w terenie?

$4$ cm $\cdot\; 50\,000 = 200\,000$ cm $= 2$ km.

Przykład 4. Czy pole kwadratu jest wprost proporcjonalne do długości jego boku?

Nie. Dla boku $2$ pole wynosi $4$, dla boku $4$ pole wynosi $16$ – bok wzrósł dwukrotnie, a pole czterokrotnie. Iloraz $\frac{P}{a}$ nie jest stały, bo $\frac{4}{2} = 2$, ale $\frac{16}{4} = 4$.

• Uznawanie każdej rosnącej zależności za proporcjonalną – trzeba sprawdzić iloraz.
• Mnożenie „wzdłuż” zamiast na krzyż przy rozwiązywaniu proporcji.
• Gubienie jednostek przy przeliczaniu skali – centymetry na mapie zamieniają się na centymetry w terenie, dopiero potem na kilometry.
• Zapominanie o opłacie stałej w zadaniach o taksówkach czy abonamentach – wtedy proporcjonalności nie ma.

Proporcjonalność to najczęściej używana zależność w praktyce: przeliczanie walut, skalowanie przepisów kulinarnych, mapy, kursy wymiany, zużycie paliwa, przeliczanie jednostek. To także wstęp do funkcji liniowej z klasy ósmej – wzór $y = kx$ opisuje prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych.