Zastosowania twierdzenia Pitagorasa

Wspólny schemat: przeciwprostokątna to zawsze ten bok „na ukos”, a przyprostokątne biegną poziomo i pionowo.

1. Narysuj sytuację i znajdź kąt prosty.
2. Nazwij boki: co jest przeciwprostokątną, co przyprostokątnymi.
3. Sprawdź, którego boku szukasz, i wybierz odpowiedni wzór.
4. Podstaw i policz – pamiętając o pierwiastku na końcu.

Mając punkty $A = (x_1, y_1)$ i $B = (x_2, y_2)$, dobudowujemy trójkąt prostokątny. Przyprostokątne to różnice współrzędnych, a odcinek $AB$ to przeciwprostokątna:

$$|AB| = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

1. Drabina o długości 5 m stoi 3 m od ściany. Na jakiej wysokości sięga?

Drabina to przeciwprostokątna: $h = \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4$ m.

2. Prostokąt ma boki 9 cm i 12 cm. Oblicz przekątną.

$d = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm.

3. Romb ma przekątne 16 cm i 12 cm. Oblicz jego bok i obwód.

Połowy przekątnych (8 cm i 6 cm) to przyprostokątne, a bok rombu – przeciwprostokątna: $a = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ cm. Obwód: $4 \cdot 10 = 40$ cm.

4. Oblicz odległość między punktami $A = (1, 2)$ i $B = (7, 10)$.

Różnice: $7 – 1 = 6$ i $10 – 2 = 8$. Odległość: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$.

• Traktowanie ukośnego boku jako przyprostokątnej – drabina, przekątna i ramię to zawsze przeciwprostokątne.
• W rombie: wstawianie całych przekątnych zamiast ich połówek.
• Mieszanie jednostek w jednym rachunku.
• Zapominanie, że wynik z pierwiastka zwykle nie jest liczbą całkowitą – i próba „zaokrąglenia” go już w trakcie rachunku, co psuje dokładność.

GPS liczy odległości dokładnie tym wzorem. Budowlaniec sprawdza nim, czy fundament jest prostokątny (mierząc przekątne), a alpinista – jaką linę potrzebuje na trawers. Wszędzie tam, gdzie coś biegnie „na ukos”, pojawia się Pitagoras.