Potęgowanie iloczynu i ilorazu

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

Drugi wzór wymaga $b \neq 0$. Skąd się biorą? Wystarczy rozpisać:

$$(2 \cdot 5)^3 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 2^3 \cdot 5^3$$

Czynniki wolno przestawiać, więc grupujemy dwójki z dwójkami, a piątki z piątkami.

Wzoru nie wolno stosować do sumy ani różnicy. To najgroźniejszy błąd w całym dziale:

Wzory czyta się też od prawej do lewej – i wtedy potrafią zamienić trudny rachunek w łatwy:

• $2^5 \cdot 5^5 = (2 \cdot 5)^5 = 10^5 = 100\,000$
• $4^6 : 2^6 = (4 : 2)^6 = 2^6 = 64$
• $0{,}25^3 \cdot 4^3 = (0{,}25 \cdot 4)^3 = 1^3 = 1$

Wzór obejmuje każdy czynnik – także liczbę stojącą przed literą:

$$(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2 \qquad (2ab^3)^3 = 2^3 \cdot a^3 \cdot b^9 = 8a^3b^9$$

Zwróć uwagę na $b^3$ podniesione do trzeciej – tu doszedł wzór na potęgowanie potęgi: $(b^3)^3 = b^9$.

Przykład 1. Oblicz $(2 \cdot 3)^4$ dwoma sposobami.

Wprost: $6^4 = 1296$. Ze wzoru: $2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$. Wynik ten sam.

Przykład 2. Oblicz $\left(\frac{2}{5}\right)^3$.

$\frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.

Przykład 3. Oblicz sprytnie $25^3 \cdot 4^3$.

Zamiast liczyć każdą potęgę osobno, łączę podstawy: $(25 \cdot 4)^3 = 100^3 = 1\,000\,000$.

Przykład 4. Podnieś do potęgi: $(5x^2y)^2$.

$5^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2 = 25x^4y^2$.

• Rozdzielanie potęgi na składniki sumy. $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$.
• Pomijanie współczynnika przy potęgowaniu. $(3x)^2$ to $9x^2$, nie $3x^2$.
• Potęgowanie tylko licznika ułamka.

Bez tych wzorów każdy rachunek na potęgach z jednostkami byłby koszmarem. Skąd wiadomo, że $1$ km$^2$ to $10^6$ m$^2$? Bo $(10^3\text{ m})^2 = 10^6$ m$^2$ – kwadrat rozdziela się na liczbę i jednostkę.