Pole prostokąta i jednostki pola

Mierzenie pola to liczenie kwadracików. Ustalamy jeden kwadrat jednostkowy – na przykład kwadrat o boku 1 cm – i sprawdzamy, ile takich kwadratów zmieści się w figurze.

W prostokącie o bokach 5 cm i 3 cm kwadraciki układają się w 3 rzędy po 5 sztuk. Nie trzeba ich liczyć po jednym – wystarczy pomnożyć: $5 \cdot 3 = 15$. Właśnie dlatego wzór to $P = a \cdot b$, a wynik zapisujemy w cm$^2$: liczba mówi, ile razy zmieścił się kwadrat o boku 1 cm.

Zanim pomnożysz, sprawdź jednostki. Wzór działa tylko wtedy, gdy oba boki są podane w tej samej jednostce. Prostokąt o bokach 3 m i 40 cm ma pole $300 \cdot 40 = 12\,000$ cm$^2$ albo $3 \cdot 0{,}4 = 1{,}2$ m$^2$ – ale nigdy „$3 \cdot 40$”.

Jednostka pola to kwadrat o boku równym jednostce długości. Ponieważ pole liczymy przez mnożenie dwóch długości, przy zamianie jednostek przelicznik podnosimy do kwadratu.

Kwadrat o boku 1 cm to kwadrat o boku 10 mm. Mieści się w nim 10 rzędów po 10 kwadracików o boku 1 mm, czyli $10 \cdot 10 = 100$. Stąd $1$ cm$^2 = 100$ mm$^2$ – a nie 10.

To najczęstsze źródło pomyłek: skoro $1$ m $= 100$ cm, to $1$ m$^2$ nie jest $100$ cm$^2$, tylko $100 \cdot 100 = 10\,000$ cm$^2$.

Pomocna jest drabinka: mm$^2$ – cm$^2$ – dm$^2$ – m$^2$. Każdy krok w górę to dzielenie przez $100$, każdy krok w dół – mnożenie przez $100$. Z m$^2$ do mm$^2$ są trzy kroki w dół, czyli mnożenie przez $100 \cdot 100 \cdot 100 = 1\,000\,000$.

Ary i hektary to jednostki dla dużych powierzchni: pól, działek, lasów. Ar to kwadrat o boku 10 m, a hektar – kwadrat o boku 100 m. W hektarze mieści się 10 rzędów po 10 arów:

Stąd $1$ ha $= 100$ a $= 10\,000$ m$^2$, a w kilometrze kwadratowym mieści się $100$ hektarów.

1. Prostokąt ma boki 8 cm i 4,5 cm. Oblicz jego pole.

$P = 8 \cdot 4{,}5 = 36$ cm$^2$.

2. Okno ma powierzchnię $1{,}2$ m$^2$. Ile to centymetrów kwadratowych?

$1$ m$^2 = 10\,000$ cm$^2$, więc $1{,}2 \cdot 10\,000 = 12\,000$ cm$^2$.

3. Działka ma kształt prostokąta o wymiarach 250 m na 120 m. Ile ma hektarów?

$P = 250 \cdot 120 = 30\,000$ m$^2$. Skoro $1$ ha $= 10\,000$ m$^2$, to $30\,000 : 10\,000 = 3$ ha.

4. Pole prostokąta wynosi 54 cm$^2$, a jeden bok ma 6 cm. Oblicz obwód.

Drugi bok: $54 : 6 = 9$ cm. Obwód: $2 \cdot (6 + 9) = 30$ cm.

5. Boisko ma powierzchnię $4500$ m$^2$. Ile to kilometrów kwadratowych?

Zamieniamy z mniejszej jednostki na większą, więc dzielimy: $1$ km$^2 = 1\,000\,000$ m$^2$, czyli $4500 : 1\,000\,000 = 0{,}0045$ km$^2$.

6. Pokój ma wymiary 3 m na 4,5 m. Panele kosztują 39 zł za metr kwadratowy. Ile zapłacisz?

$P = 3 \cdot 4{,}5 = 13{,}5$ (m$^2$), a koszt: $13{,}5 \cdot 39 = 526{,}5$ zł.

To dwie różne wielkości i nie są ze sobą sztywno związane. Prostokąty o tym samym obwodzie mogą mieć bardzo różne pola:

Oba prostokąty mają obwód 20 cm, ale pierwszy ma pole $9 \cdot 1 = 9$ cm$^2$, a drugi $5 \cdot 5 = 25$ cm$^2$. Ze wszystkich prostokątów o danym obwodzie największe pole ma kwadrat. Obwód mierzymy w centymetrach, a pole w centymetrach kwadratowych – to nawet nie są te same jednostki, więc nie ma sensu ich porównywać.

Figury na planach mieszkań czy działek rzadko są prostokątami. Prawie zawsze da się je jednak sprowadzić do prostokątów – na dwa sposoby.

Rozcinanie: dzielimy figurę na prostokąty, liczymy pole każdego i dodajemy.

$P = 5 \cdot 4 + 4 \cdot 7 = 20 + 28 = 48$.

Dopełnianie: wpisujemy figurę w duży prostokąt i odejmujemy pole brakującego kawałka.

$P = 9 \cdot 7-5 \cdot 3 = 63-15 = 48$. Wynik ten sam, więc możesz wybrać sposób, w którym łatwiej odczytać wymiary. Drugi sposób bywa też dobrym sprawdzeniem pierwszego.

Uwaga na brakujące wymiary: często trzeba je najpierw policzyć. Tutaj poziomy odcinek u góry ma $9-5 = 4$, a pionowy z prawej $7-3 = 4$.

• Zamiana jednostek pola bez podnoszenia przelicznika do kwadratu – to błąd numer jeden.
• Mnożenie boków podanych w różnych jednostkach (np. 3 m razy 40 cm) – najpierw sprowadź do jednej.
• Podawanie wyniku w jednostkach długości zamiast pola (cm zamiast cm$^2$).
• Mnożenie zamiast dzielenia przy przechodzeniu na większą jednostkę. Z m$^2$ na ha dzielimy przez $10\,000$, bo hektar jest większy od metra kwadratowego.
• Mylenie pola z obwodem – „ile kafelków” to pole, „ile listwy przypodłogowej” to obwód.
• W figurach złożonych: liczenie pola tego samego kawałka dwa razy przy rozcinaniu na zachodzące na siebie części.

Kupując panele, farbę czy kafelki, płacisz za metry kwadratowe. Ceny mieszkań i gruntów podaje się za m$^2$, a areał pól – w hektarach. Umiejętność sprawnej zamiany m$^2$ na ha i odwrotnie oszczędza realne pieniądze.