Zanim policzysz cokolwiek, dane trzeba zebrać i uporządkować – i to od jakości tego kroku zależy, czy wynik ma sens. Statystyka zaczyna się od pytania, a nie od liczb.
Etapy badania statystycznego
- Pytanie – co dokładnie chcemy zbadać.
- Zbieranie danych – ankieta, pomiar, obserwacja, licznik.
- Porządkowanie – tabela liczności, podział na kategorie.
- Prezentacja – diagram, wykres.
- Wnioski – odpowiedź na pytanie z punktu 1.
Kolejność jest ważna. Najtrudniejszy jest krok pierwszy: pytanie musi być tak postawione, żeby odpowiedź dało się zapisać liczbą albo zaliczyć do jednej kategorii. „Czy lubisz sport?” daje dane, z którymi niewiele zrobisz; „Ile godzin w tygodniu poświęcasz na sport?” daje liczby, które można policzyć, uśrednić i narysować.
Przez kolejne sekcje przejdziemy na jednym przykładzie: klasa 7b licząca 25 uczniów bada samą siebie.
Tabela liczności
Najprostsze narzędzie porządkowania. W jednej kolumnie wypisujemy możliwe wartości, w drugiej – ile razy każda wystąpiła (liczność). Suma liczności musi się zgadzać z liczbą wszystkich obserwacji – to szybka kontrola, czy nic nie zginęło.
Jak zliczać, żeby się nie pomylić
Surowych danych nie zliczaj w pamięci i nie przeskakuj po liście. Wypisz najpierw wszystkie możliwe wartości, potem przejdź po danych po kolei i przy każdej odpowiedzi postaw kreskę. Kreski grupuje się po pięć: cztery pionowe i piąta ukośna w poprzek – piątki łatwo potem policzyć. Na koniec zamieniamy kreski na liczby.
Uczniowie klasy 7b odpowiedzieli na pytanie „ile masz rodzeństwa?”. Odpowiedzi w kolejności, w jakiej padały:
1, 0, 2, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 0, 4, 1, 1, 2, 0, 1, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 0, 1
Po zliczeniu:
| Liczba rodzeństwa | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Razem |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów | 6 | 11 | 5 | 2 | 1 | 25 |
Sprawdzenie: $6+11+5+2+1=25$, czyli tyle, ilu jest uczniów. Nic nie zginęło i nic nie zostało policzone dwa razy.
Z tak uporządkowanych danych liczy się już wszystko:
- ilu uczniów nie ma rodzeństwa: 6,
- jaki to procent klasy: $\frac{6}{25}\cdot100\%=24\%$,
- ilu ma co najmniej dwoje rodzeństwa: $5+2+1=8$,
- średnia liczba rodzeństwa: $\frac{0\cdot6+1\cdot11+2\cdot5+3\cdot2+4\cdot1}{25}=\frac{31}{25}=1{,}24$.
Zwróć uwagę na ostatni rachunek: w liczniku mnożymy wartość przez liczność, a w mianowniku stoi liczba wszystkich uczniów, a nie liczba wierszy tabeli.
Grupowanie w przedziały
Przy dużej liczbie różnych wyników wartości grupuje się w przedziały (np. wzrost: 150-159 cm, 160-169 cm). Bez tego tabela byłaby bezużyteczna – przy pomiarze wzrostu prawie każda wartość wystąpiłaby raz. Obowiązują trzy zasady:
- przedziały mają równą szerokość (tu po 10 cm),
- nie mogą na siebie zachodzić: poprawnie 150-159 i 160-169, a nie „150-160” i „160-170”, bo wtedy nie wiadomo, gdzie zapisać ucznia o wzroście 160 cm,
- razem muszą obejmować wszystkie dane; skrajne przedziały opisuje się czasem „mniej niż 140” i „180 i więcej”.
Wzrost tych samych 25 uczniów:
| Wzrost (w cm) | 140-149 | 150-159 | 160-169 | 170-179 | Razem |
|---|---|---|---|---|---|
| Liczba uczniów | 3 | 8 | 10 | 4 | 25 |
Grupowanie coś kosztuje: z takiej tabeli nie odczytasz już, ile dokładnie mierzy najwyższy uczeń – wiesz tylko, że mieści się w przedziale od 170 cm do 179 cm. W zamian od razu widać, gdzie skupia się większość klasy.
Populacja i próba
Populacja to wszystkie obiekty, o które nam chodzi (np. wszyscy uczniowie szkoły). Gdy zbadanie wszystkich jest niemożliwe lub zbyt kosztowne, bada się próbę – część populacji.
Kluczowe: próba musi być reprezentatywna, czyli odzwierciedlać strukturę populacji. Ankieta o ulubionym sporcie przeprowadzona tylko wśród członków klubu piłkarskiego nie powie nic o całej szkole.
Próba nie musi być wielka – musi być dobrana bez związku z badaną cechą. Ogólnopolskie sondaże opinii robi się zwykle na próbie około 1000 osób, dobranych tak, by znalazły się w niej osoby w różnym wieku, różnej płci, z miast i ze wsi.
Klasyczne sposoby na zepsucie badania:
- pytamy tam, gdzie wygodnie: kolegów z ławki albo przechodniów przed halą sportową,
- pytamy tylko tych, którzy zgłoszą się sami – odpowiadają zwykle ci, którym najbardziej zależy,
- zadajemy pytanie podpowiadające odpowiedź: „Czy zgadzasz się, że lekcji jest stanowczo za dużo?” zamiast „Ile lekcji dziennie uważasz za odpowiednią liczbę?”,
- pytamy o rzeczy, do których ludzie niechętnie się przyznają – odpowiedzi bywają wtedy systematycznie zawyżone albo zaniżone.
Wnioski z próby zawsze obarczone są niepewnością. Zdanie „w naszej szkole $62\%$ uczniów jeździ rowerem”, oparte na ankiecie w jednej klasie, jest nadużyciem. Z próby 25 osób można powiedzieć najwyżej: „w zbadanej klasie”.
Przykłady
1. Zebrano wyniki rzutów kostką: 3, 5, 1, 3, 6, 3, 2, 5, 3, 4. Zrób tabelę liczności.
Wynik 1: raz. Wynik 2: raz. Wynik 3: cztery razy. Wynik 4: raz. Wynik 5: dwa razy. Wynik 6: raz. Suma: $1+1+4+1+2+1 = 10$ – zgadza się z liczbą rzutów.
2. Jaka jest średnia z powyższych rzutów?
$\frac{1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 1}{10} = \frac{1 + 2 + 12 + 4 + 10 + 6}{10} = \frac{35}{10} = 3{,}5$.
3. Chcemy zbadać, ile czasu uczniowie szkoły spędzają na sporcie. Kogo zapytać?
Losowo wybranych uczniów z różnych klas, a nie tylko z jednej albo tylko z drużyny sportowej – inaczej próba nie będzie reprezentatywna.
4. W ankiecie 200 osób $45\%$ wybrało odpowiedź A. Ile to osób?
$0{,}45 \cdot 200 = 90$ osób.
5. Zapytano 30 osób, ile minut zajmuje im droga do szkoły. Odpowiedzi mieszczą się od 3 do 47 minut. Zaproponuj przedziały.
Pięć równych przedziałów po 10 minut: 0-9, 10-19, 20-29, 30-39, 40-49. Są tej samej szerokości, nie zachodzą na siebie i obejmują wszystkie odpowiedzi.
6. W tekście liczącym 500 wyrazów 147 wyrazów miało mniej niż cztery litery. Jaki to procent?
$\frac{147}{500}\cdot100\%=29{,}4\%$, czyli w zaokrągleniu około $29\%$.
7. Ankieter stanął przed siłownią i pytał przechodniów, czy uprawiają sport. Wyszło $84\%$. Czy to wynik reprezentatywny dla mieszkańców miasta?
Nie. Miejsce badania jest powiązane z badaną cechą: przed siłownią spotyka się głównie osoby, które ćwiczą. Wynik opisuje przechodniów w tym jednym miejscu, a nie mieszkańców miasta.
8. W tabeli liczności suma liczności wynosi 24, a badano 25 osób. Co robić?
Wrócić do surowych danych i policzyć jeszcze raz – jedna odpowiedź została pominięta albo przypisana do złej kategorii. Dopóki suma się nie zgadza, dalszych obliczeń nie ma sensu robić.
Typowe błędy
- Dobieranie próby wygodnie zamiast losowo – to zniekształca wynik.
- Zadawanie pytań sugerujących odpowiedź.
- Wyciąganie wniosków o całej populacji z próby, która jej nie reprezentuje.
- Zapominanie o sprawdzeniu, czy suma liczności zgadza się z liczbą obserwacji.
- Przedziały zachodzące na siebie (150-160 i 160-170) albo o różnej szerokości.
- Zliczanie „na oko”, bez kresek i bez przejścia po danych po kolei.
- Przy liczeniu średniej z tabeli: dodawanie liczności zamiast mnożenia ich przez wartości.
Po co to się przydaje
Sondaże, badania rynku, kontrola jakości, badania medyczne – wszystkie stoją na doborze próby. Rozumienie, czym jest próba reprezentatywna, pozwala ocenić, czy nagłówek „badania dowodzą” ma pokrycie w faktach.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Statystyka i prawdopodobieństwo”.
Zadania
Zadanie 1
Zbadano 400 pierwszych wyrazów pewnej powieści napisanej po czesku i tych samych 400 wyrazów w jej polskim tłumaczeniu. Wyniki zebrano w tabeli.
$$\begin{array}{l|cccccccccccc|c}\text{liczba liter} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \text{razem} \\ \hline \text{tekst czeski} & 12 & 56 & 92 & 64 & 52 & 44 & 30 & 20 & 14 & 8 & 5 & 3 & 400 \\ \text{tekst polski} & 28 & 46 & 48 & 42 & 64 & 50 & 46 & 36 & 22 & 12 & 4 & 2 & 400\end{array}$$
Korzystając z tabeli, odpowiedz na pytania.
Zadanie 2
Poniższa tabela pokazuje, ile wyrazów o danej liczbie liter znalazło się wśród 300 pierwszych wyrazów pewnego artykułu po włosku i w jego polskim tłumaczeniu.
$$\begin{array}{l|cccccccccc|c}\text{liczba liter} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & \text{10 i więcej} & \text{razem} \\ \hline \text{tekst włoski} & 8 & 54 & 62 & 46 & 38 & 30 & 24 & 18 & 12 & 8 & 300 \\ \text{tekst polski} & 22 & 36 & 34 & 30 & 42 & 38 & 32 & 28 & 22 & 16 & 300\end{array}$$
Pogrupuj te dane w cztery kategorie: od 1 do 3 liter, od 4 do 6 liter, od 7 do 9 liter, 10 i więcej liter.
Zadanie 3
W pewnej szkole zapytano wszystkich 250 uczniów, jak docierają na lekcje. Odpowiedzi zebrano w tabeli.
$$\begin{array}{l|c}\text{sposób dotarcia do szkoły} & \text{liczba uczniów} \\ \hline \text{pieszo} & 96 \\ \text{rowerem} & 60 \\ \text{autobusem} & 70 \\ \text{samochodem} & 24 \\ \text{razem} & 250\end{array}$$
Oblicz, jaki procent wszystkich uczniów stanowi każda grupa. Wyniki podaj z dokładnością do 0,1%.
Zadanie 4
Bibliotekarka zapisała, ile książek poszczególnych rodzajów wypożyczono w jej bibliotece we wrześniu i w październiku.
$$\begin{array}{l|ccccc|c}\text{rodzaj książki} & \text{przygodowe} & \text{fantasy} & \text{historyczne} & \text{popularnonaukowe} & \text{poezja} & \text{razem} \\ \hline \text{wrzesień} & 84 & 96 & 40 & 52 & 18 & 290 \\ \text{październik} & 72 & 118 & 46 & 44 & 30 & 310\end{array}$$
Korzystając z tabeli, odpowiedz na pytania.
Zadanie 5
Marta zapytała 25 przypadkowo spotkanych dorosłych, ile filiżanek herbaty piją dziennie. Otrzymała kolejno odpowiedzi:
2; 1; 3; 0; 2; 2; 1; 4; 0; 3; 1; 2; 5; 1; 0; 2; 3; 1; 2; 0; 4; 1; 2; 3; 0
Opracuj te dane i odpowiedz na pytania.
Zadanie 6
Marek stał przy stacji kolejki linowej i notował, ile osób jechało w kolejnych wagonikach. Jedna kreska oznacza jeden wagonik, a kreski zapisywał piątkami.
$$\begin{array}{c|l}\text{liczba osób w wagoniku} & \text{kreski} \\ \hline 1 & \text{///// ///// ///// /} \\ 2 & \text{///// ///// ///// ///// /} \\ 3 & \text{///// ///// //} \\ 4 & \text{///// ///// ///// ////} \\ 5 & \text{///// ///// //}\end{array}$$
Opracuj notatkę Marka i odpowiedz na pytania.
Zadanie 7
Kibic zapisał, jaką różnicą punktów kończyły się kolejne mecze koszykówki w pewnej lidze. Oto jego lista dla 25 meczów:
3; 12; 7; 18; 5; 9; 21; 2; 14; 6; 11; 4; 8; 16; 1; 13; 10; 25; 7; 3; 19; 9; 5; 15; 20
Przerysuj poniższą tabelę i wypełnij ją na podstawie tej listy.
$$\begin{array}{l|cccc}\text{różnica punktów} & \text{0-5} & \text{6-10} & \text{11-15} & \text{16 i więcej} \\ \hline \text{liczba meczów} & ? & ? & ? & ?\end{array}$$
Zadanie 8
W pewnej klasie dwudziestu uczniom zmierzono tempo czytania (liczbę słów przeczytanych w ciągu minuty) na początku roku szkolnego, a potem jeszcze raz na jego końcu. Wyniki zebrano w tabeli.
$$\begin{array}{l|cccccc}\text{słów na minutę} & \text{40-59} & \text{60-79} & \text{80-99} & \text{100-119} & \text{120-139} & \text{140-159} \\ \hline \text{początek roku (liczba uczniów)} & 4 & 5 & 5 & 3 & 2 & 1 \\ \text{koniec roku (liczba uczniów)} & 1 & 2 & 3 & 5 & 5 & 4\end{array}$$
Korzystając z tabeli, odpowiedz na pytania.
Zadanie 9
Na warsztatach dwadzieścioro uczniów oszacowało „na oko” (bez mierzenia), ile centymetrów ma wysokość pewnej doniczki. Zapisano wszystkie odpowiedzi:
18; 20; 21; 22; 22; 23; 23; 24; 24; 25; 25; 26; 26; 27; 28; 28; 30; 31; 33; 24
Rzeczywista wysokość doniczki to 24 cm. Pogrupuj odpowiedzi w przedziały: mniej niż 20, od 20 do 24, od 25 do 29, 30 i więcej, a potem odpowiedz na pytania.
Zadanie 10
Uczniowie układali pytania do ankiety. Oceń, czy każde z poniższych pytań jest dobrze ułożone. Jeśli nie, napisz, co jest w nim nie tak, i zaproponuj poprawione pytanie.
Zadanie 11
Dwieście osób zapytano, jakiej muzyki słuchają najchętniej. Każda osoba wskazała dokładnie jedną odpowiedź.
$$\begin{array}{l|ccccc|c}\text{rodzaj muzyki} & \text{pop} & \text{rock} & \text{rap} & \text{klasyczna} & \text{inna} & \text{razem} \\ \hline \text{liczba osób} & 70 & 50 & 40 & 24 & 16 & 200\end{array}$$
Zamień liczebności na procenty i przedstaw je na diagramie kołowym.
Zadanie 12
Dwadzieścia dziewcząt i dwudziestu chłopców oceniło pięć dźwięków w skali: $-2$ (bardzo nieprzyjemny), $-1$ (nieprzyjemny), $0$ (obojętny), $1$ (przyjemny), $2$ (bardzo przyjemny). W tabeli zapisano sumy punktów przyznanych przez każdą grupę.
$$\begin{array}{l|ccccc}\text{dźwięk} & \text{szum deszczu} & \text{warkot motoru} & \text{śpiew ptaków} & \text{dzwonek telefonu} & \text{skrzypce} \\ \hline \text{dziewczęta (suma punktów)} & 28 & -14 & 32 & -8 & 20 \\ \text{chłopcy (suma punktów)} & 12 & 18 & 16 & -6 & -4\end{array}$$
Korzystając z tabeli, odpowiedz na pytania.
Zadanie 13
Zmierzono wzrost (w centymetrach) dwudziestu chłopców i otrzymano wyniki:
158; 159; 161; 163; 164; 166; 167; 168; 169; 171; 172; 173; 174; 175; 176; 177; 178; 181; 182; 172
Wyniki przedstawiono na cztery sposoby. W jednym z nich popełniono błąd.
A.
B.
C.
D. $$\begin{array}{l|c}\text{wzrost (cm)} & \text{liczba chłopców} \\ \hline \text{do 159} & 2 \\ \text{160-164} & 3 \\ \text{165-169} & 4 \\ \text{170-174} & 5 \\ \text{175-179} & 4 \\ \text{od 180} & 2\end{array}$$
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 14
Do pewnej szkoły chodzi 480 uczniów. Dyrektor chciał się dowiedzieć, ile czasu uczniowie tej szkoły poświęcają dziennie na odrabianie lekcji. Poprosił o wypełnienie ankiety 40 uczniów, którzy akurat zostali po lekcjach na kółku matematycznym. Z ankiet wyszło, że uczniowie odrabiają lekcje średnio 95 minut dziennie.
Czy na podstawie takiego badania można powiedzieć, ile czasu odrabiają lekcje wszyscy uczniowie tej szkoły? Odpowiedź uzasadnij i zaproponuj, jak lepiej dobrać badaną grupę.
Zadanie 15
Sklep internetowy przez miesiąc pytał kupujących, skąd dowiedzieli się o sklepie. Odpowiedziało 1200 osób: 480 z nich trafiło do sklepu z wyszukiwarki, 360 usłyszało o nim od znajomych, 240 zobaczyło reklamę w mediach społecznościowych, a pozostali podali inne źródło.
Oblicz, ilu klientów podało „inne źródło”, i jaki procent wszystkich odpowiedzi stanowi każde z czterech źródeł. Napisz, które źródło okazało się najskuteczniejsze.
Zadanie 16
W szkolnej gazetce opublikowano wyniki ankiety o ulubionej porze roku, którą wypełniło 250 uczniów. Wydrukowano, że wiosnę wybrało 22% uczniów, lato 38%, a jesień 16%. Liczba dotycząca zimy zaginęła w druku.
Oblicz, jaki procent uczniów wybrał zimę i ilu to uczniów. Sprawdź też, ilu uczniów wybrało lato.
Zadanie 17
Bibliotekarz zapisywał przez tydzień, ile książek wypożyczono każdego dnia: w poniedziałek 40, we wtorek 28, w środę 45, w czwartek 37, a w piątek 50.
Oblicz, ile książek wypożyczono przez cały tydzień i ile średnio dziennie. Sprawdź też, o ile procent więcej książek wypożyczono w piątek niż w poniedziałek.