Kwadrat i jego połowa

Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych równych bokowi $a$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$$

Po spierwiastkowaniu: $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Trójkąt powstały z przecięcia kwadratu przekątną ma kąty $45^\circ$, $45^\circ$ i $90^\circ$. Jest równoramienny i prostokątny naraz. Jego boki mają się do siebie zawsze tak samo:

Rozpoznanie tego trójkąta w zadaniu oszczędza cały rachunek – wystarczy podstawić do wzoru.

Znając przekątną, wyliczamy bok:

$$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}$$

Warto pamiętać przybliżenie: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$.

1. Kwadrat ma bok 5 cm. Oblicz przekątną.

$d = 5\sqrt{2} \approx 5 \cdot 1{,}41 = 7{,}05$ cm.

2. Przekątna kwadratu ma $8\sqrt{2}$ cm. Ile mierzy bok?

Z wzoru $d = a\sqrt{2}$: $8\sqrt{2} = a\sqrt{2}$, więc $a = 8$ cm.

3. Trójkąt prostokątny równoramienny ma przyprostokątną 6 cm. Oblicz przeciwprostokątną i obwód.

Przeciwprostokątna: $6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ cm. Obwód: $6 + 6 + 6\sqrt{2} \approx 20{,}49$ cm.

4. Kwadrat ma przekątną 10 cm. Oblicz jego pole.

Sposób szybki: pole kwadratu przez przekątną to $P = \frac{d^2}{2} = \frac{100}{2} = 50$ cm$^2$. Sposób długi: $a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$, a wtedy $P = (5\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$ cm$^2$. Zgadza się.

• Mnożenie boku przez 2 zamiast przez $\sqrt{2}$ – przekątna nie jest dwa razy dłuższa od boku.
• Zapominanie, że $(\sqrt{2})^2 = 2$ – to bardzo upraszcza rachunki.
• Mylenie wzoru na przekątną kwadratu z wzorem na wysokość trójkąta równobocznego.

Przekątna to najdłuższy wymiar prostokątnej ramy – stąd „przekątna ekranu” w telewizorach i telefonach. Stolarz mierzy przekątne, żeby sprawdzić, czy rama jest prostokątem: gdy obie są równe, kąty są proste.