Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ wynosi $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, a jego pole $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Oba wzory wyprowadza się z twierdzenia Pitagorasa.
Skąd wzór na wysokość
Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne. W każdym z nich:
- przeciwprostokątna to bok trójkąta, czyli $a$;
- krótsza przyprostokątna to połowa podstawy, czyli $\frac{a}{2}$;
- dłuższa przyprostokątna to szukana wysokość $h$.
Z twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2 = a^2 – \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 – \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$$
Po spierwiastkowaniu: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Połowa trójkąta równobocznego – trójkąt 30-60-90
Ten trójkąt ma kąty $30^\circ$, $60^\circ$ i $90^\circ$, a jego boki mają stałe proporcje:
| Bok | Leży naprzeciw kąta | Długość |
|---|---|---|
| krótsza przyprostokątna | $30^\circ$ | $\frac{a}{2}$ |
| dłuższa przyprostokątna | $60^\circ$ | $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ |
| przeciwprostokątna | $90^\circ$ | $a$ |
Zapamiętaj kluczową zależność: bok naprzeciw kąta $30^\circ$ jest dwa razy krótszy od przeciwprostokątnej. To działa w każdym takim trójkącie.
Pole trójkąta równobocznego
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
Warto pamiętać: $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.
Przykłady
1. Trójkąt równoboczny ma bok 8 cm. Oblicz wysokość i pole.
Wysokość: $h = \frac{8\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ cm. Pole: $P = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \approx 27{,}7$ cm$^2$.
2. Wysokość trójkąta równobocznego wynosi $6\sqrt{3}$ cm. Ile mierzy bok?
Z $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$: $6\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, czyli $a = 12$ cm.
3. W trójkącie prostokątnym kąt ostry ma $30^\circ$, a przeciwprostokątna 14 cm. Oblicz krótszą przyprostokątną.
Bok naprzeciw kąta $30^\circ$ to połowa przeciwprostokątnej: $14 : 2 = 7$ cm.
4. Trójkąt równoboczny ma pole $9\sqrt{3}$ cm$^2$. Oblicz jego bok.
Z $\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$ mamy $a^2 = 36$, czyli $a = 6$ cm.
Typowe błędy
- Wstawianie do Pitagorasa całej podstawy zamiast jej połowy.
- Mylenie $\sqrt{3}$ z $\sqrt{2}$ – dwójka jest przy kwadracie, trójka przy trójkącie równobocznym.
- Uznawanie boku trójkąta równobocznego za wysokość – wysokość jest zawsze krótsza od boku.
Po co to się przydaje
Trójkąt $30$-$60$-$90$ wraca stale: w sześciokątach foremnych (a więc w nakrętkach i plastrze miodu), w konstrukcjach dachów i w trygonometrii, którą poznasz w liceum.
Zgodne z: Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Trójkąty prostokątne i twierdzenie Pitagorasa”.