Dane statystyczne przedstawia się w tabelach, na diagramach i wykresach – a umiejętność ich odczytania to umiejętność wyciągania wniosków z liczb, nie zgadywania z obrazka. Każdy sposób prezentacji pokazuje co innego najlepiej.
Zanim odpowiesz na jakiekolwiek pytanie do diagramu, przeczytaj trzy rzeczy:
- tytuł – czego dotyczą dane i kogo obejmują,
- opis osi poziomej – co porównujemy (kategorie, lata, przedziały),
- opis osi pionowej razem z jednostką – ile i czego.
Jednostka bywa schowana w małym dopisku „w tysiącach”, „w zł”, „w %”. Pominięcie jej to najczęstszy powód złej odpowiedzi: liczba 12 na wykresie może znaczyć 12 osób albo 12 tysięcy osób.
Oś i podziałka
Na osi pionowej opisane są tylko niektóre kreski. Żeby odczytać wartość, najpierw ustal, ile wynosi jedna mała kratka:
$$\text{jedna kratka}=\frac{\text{różnica dwóch opisanych liczb}}{\text{liczba odstępów między nimi}}$$
Na osi obok opisane są liczby 0, 10, 20 i 30, a między sąsiednimi opisanymi kreskami mieści się 5 odstępów. Jedna kratka to więc $10:5=2$. Kreskowana linia leży 3 kratki powyżej liczby 20, czyli wskazuje $20+3\cdot2=26$.
Gdy słupek albo punkt wypada między kreskami, nie zgaduj: policz kratki. Jeżeli wartość i tak wypada w połowie kratki, odpowiadaj uczciwie „około 27”. Na pytanie „ile dokładnie” odpowiada tabela, a nie diagram.
Sprawdź też, od jakiej liczby zaczyna się oś. Jeżeli nie od zera, wysokości słupków przestają być proporcjonalne do wartości – o tym w sekcji o pułapkach.
Rodzaje prezentacji danych
| Forma | Do czego najlepsza | Pytanie, na które odpowiada |
|---|---|---|
| tabela | dokładne wartości, dane surowe | „Ile dokładnie było X?” |
| diagram słupkowy | porównywanie wielkości między kategoriami | „Gdzie jest najwięcej, a gdzie najmniej?” |
| diagram kołowy | udziały procentowe w całości | „Jaką część całości stanowi X?” |
| wykres liniowy | zmiany w czasie, trendy | „Rośnie czy maleje i jak szybko?” |
Formę dobiera się do pytania, a nie odwrotnie. Poniżej te same trzy rodzaje rysunków z przykładowymi danymi i z informacją, co z każdego da się odczytać, a czego nie.
Diagram słupkowy: co jest większe
Odczytujemy, porównując wysokość słupka z podziałką na osi. Oś opisana jest co 2, a między opisanymi kreskami jest jeden odstęp, więc jedna kratka to 1. Słupek „matematyka” sięga jedną kratkę powyżej 6, czyli 7.
- ile osób wybrało dany przedmiot: matematyka 7, polski 4, historia 2, biologia 5, WF 6,
- co wybrano najczęściej, a co najrzadziej: najwyższy słupek to matematyka, najniższy to historia,
- o ile więcej osób wybrało WF niż polski: $6-4=2$,
- ilu uczniów odpowiedziało razem: $7+4+2+5+6=24$.
Czego nie odczytasz od razu: jaką część klasy stanowią miłośnicy WF. Diagram słupkowy pokazuje liczby, a nie udziały – część trzeba policzyć samodzielnie: $\frac{6}{24}=\frac14=25\%$.
Diagram kołowy: jaka to część całości
Tu jest odwrotnie: udziały widać od razu, a liczb nie ma wcale. Widać, że pieszo chodzi połowa badanych, a rowerem mniej niż co piąty. Liczby policzymy dopiero wtedy, gdy znamy całość – tu badano 40 osób:
- pieszo: $50\%$ z 40, czyli $0{,}5\cdot40=20$ osób,
- autobusem: $0{,}25\cdot40=10$ osób,
- rowerem: $0{,}15\cdot40=6$ osób,
- samochodem: $0{,}1\cdot40=4$ osoby.
Sprawdzenie: $20+10+6+4=40$ oraz $50\%+25\%+15\%+10\%=100\%$. Jeżeli procenty nie sumują się do $100\%$, albo któryś wycinek został pominięty, albo dane są zaokrąglone.
Czego nie odczytasz: ilu w ogóle było badanych. To musi być napisane obok diagramu. Dwa identycznie wyglądające diagramy kołowe mogą opisywać 40 osób i 4 miliony osób.
Wykres liniowy: co się zmienia
- wartości w kolejnych tygodniach: 2, 3, 6, 5, 9 i 12 tysięcy widzów,
- kiedy rosło, a kiedy spadło: odcinek w górę to wzrost, w dół to spadek – spadek był tylko między 3. a 4. tygodniem,
- o ile wzrosło przez sześć tygodni: $12-2=10$ tysięcy,
- kiedy wzrost był najszybszy: między 4. a 5. tygodniem, o 3 tysiące – to najbardziej stromy odcinek.
Wykres liniowy ma sens tylko wtedy, gdy na osi poziomej jest coś uporządkowanego: kolejne dni, lata, godziny, kolejne pomiary. Łączenie odcinkami kategorii typu „matematyka”, „polski”, „historia” niczego nie znaczy, bo między nimi nie ma żadnego „po drodze”.
Same odcinki są tylko połączeniem punktów. Nie wynika z nich, że w połowie piątego tygodnia widzów było dokładnie tyle, ile wskazuje środek odcinka.
Diagram kołowy – jak go czytać
Całe koło to $100\%$ danych, czyli $360^\circ$. Stąd:
$$1\% \text{ odpowiada } 3{,}6^\circ$$
Żeby zamienić procent na kąt, mnożymy przez $3{,}6$. Żeby zamienić kąt na procent, dzielimy przez $3{,}6$. Suma wszystkich wycinków musi dać $100\%$ i $360^\circ$.
Na diagramie z poprzedniej sekcji wycinek „pieszo” to $50\%$, czyli $50\cdot3{,}6=180^\circ$ – dokładnie pół koła. Wycinek „rowerem” to $15\cdot3{,}6=54^\circ$.
Kilka wycinków warto rozpoznawać na oko, bez liczenia:
| Część koła | Procent | Kąt |
|---|---|---|
| połowa | $50\%$ | $180^\circ$ |
| ćwiartka | $25\%$ | $90^\circ$ |
| jedna trzecia | około $33\%$ | $120^\circ$ |
| jedna ósma | $12{,}5\%$ | $45^\circ$ |
| jedna dziesiąta | $10\%$ | $36^\circ$ |
Gdy w zadaniu podana jest liczba, a pytanie dotyczy procentu, liczymy odwrotnie:
$$\frac{\text{część}}{\text{całość}}\cdot100\%$$
Na przykład 6 osób spośród 40 to $\frac{6}{40}\cdot100\%=15\%$, czyli wycinek o kącie $54^\circ$.
Uwaga na pułapki
Diagram może mylić, nawet gdy nie kłamie. Najczęstsze sztuczki:
- Oś nie zaczyna się od zera – słupki wyglądają wtedy na dużo bardziej zróżnicowane, niż są.
- Procenty bez podanej całości – „wzrost o $50\%$” znaczy co innego przy 4 sztukach, a co innego przy 4 milionach.
- Zaokrąglenia – procenty na diagramie kołowym mogą sumować się do $99\%$ lub $101\%$.
- Procenty liczone z różnych całości – mniejszy procent potrafi oznaczać większą liczbę. Jeżeli motocykle stanowiły $8\%$ z 11,2 mln pojazdów, a dziś $5\%$ z 27,4 mln, to mimo spadku procentu motocykli przybyło.
- Ucięty przedział czasu – pokazanie tylko tych lat, w których dane rosły, i przemilczenie reszty.
- Ankieta z wielokrotnym wyborem – gdy każdy badany mógł wskazać kilka odpowiedzi, procenty sumują się do więcej niż $100\%$ i nie wolno ich dodawać ani traktować jak wycinków koła.
Ucięta oś: te same dane, dwa wrażenia
Oba diagramy niżej przedstawiają dokładnie te same liczby: widzów programu rok temu (480 tys.) i teraz (510 tys.).
Na pierwszym oś zaczyna się od zera i słupki są prawie równe. Na drugim oś obejmuje tylko przedział od 470 do 520, więc drugi słupek jest cztery razy wyższy od pierwszego. Tymczasem widzów przybyło o $510-480=30$ tysięcy, czyli o $\frac{30}{480}=0{,}0625$, a więc o niecałe $7\%$.
Jak się bronić: zawsze sprawdź pierwszą liczbę na osi pionowej. Jeżeli nie jest nią zero, porównuj same liczby, a nie wysokości słupków.
Przykłady
1. Wycinek diagramu kołowego ma kąt $72^\circ$. Jaki procent całości reprezentuje?
$72 : 3{,}6 = 20\%$.
2. W stowarzyszeniu jest 800 członków. Na kandydata A zagłosowało $35\%$. Ile to osób i jaki kąt na diagramie?
Osób: $0{,}35 \cdot 800 = 280$. Kąt: $35 \cdot 3{,}6 = 126^\circ$.
3. Diagram kołowy ma trzy wycinki: $120^\circ$, $150^\circ$ i resztę. Jaki procent stanowi reszta?
Kąt reszty: $360^\circ-120^\circ-150^\circ = 90^\circ$. Procent: $90 : 3{,}6 = 25\%$.
4. Zmierzono prędkość 1500 samochodów. $40\%$ przekroczyło dozwoloną prędkość. Ile aut jechało zgodnie z przepisami?
Zgodnie z przepisami: $100\%-40\% = 60\%$, czyli $0{,}6 \cdot 1500 = 900$ samochodów.
5. Na osi pionowej diagramu opisane są liczby 0, 50, 100 i 150, a między sąsiednimi opisanymi kreskami jest 5 odstępów. Słupek sięga 2 kratki powyżej liczby 100. Jaką wartość pokazuje?
Jedna kratka: $50:5=10$. Wartość słupka: $100+2\cdot10=120$.
6. W ankiecie wzięło udział 250 osób, a wycinek „nie mam zdania” ma kąt $36^\circ$. Ile to osób?
Procent: $36:3{,}6=10\%$. Osób: $0{,}1\cdot250=25$.
7. Chcesz pokazać, jak zmieniała się liczba mieszkańców miasta w kolejnych latach. Jaki rysunek wybrać?
Wykres liniowy: na osi poziomej jest czas, a pytanie dotyczy zmiany. Diagram kołowy tu nie pasuje, bo nie dzielimy niczego na części całości.
8. W roku 1995 motocykle stanowiły $8\%$ z 11,2 mln zarejestrowanych pojazdów, a w 2015 – $5\%$ z 27,4 mln. Czy motocykli ubyło?
$0{,}08\cdot11{,}2=0{,}896$ mln, a $0{,}05\cdot27{,}4=1{,}37$ mln. Procent spadł, ale motocykli przybyło o prawie pół miliona. Procentów z różnych całości nie wolno porównywać wprost.
Typowe błędy
- Odczytywanie wartości „na oko” bez sprawdzenia podziałki na osi.
- Mylenie liczby z procentem – $30\%$ to nie 30 osób, dopóki nie znasz całości.
- Porównywanie słupków na wykresie z uciętą osią, jakby oś zaczynała się od zera.
- Pominięcie jednostki z opisu osi: „w tysiącach”, „w mln”, „w zł”.
- Traktowanie diagramu kołowego jako źródła liczb – wycinek daje procent, liczbę dopiero po pomnożeniu przez całość.
- Łączenie odcinkami danych, które nie są uporządkowane w czasie.
- Dodawanie procentów z ankiety, w której można było zaznaczyć kilka odpowiedzi.
Po co to się przydaje
Wyniki wyborów, notowania giełdowe, dane o zdrowiu, reklamy z „badaniami” – wszystko to podaje się w formie diagramów. Kto umie je czytać, ten nie da się nabrać na wykres z uciętą osią. Wystarczy odruch: najpierw tytuł, potem opis osi, potem pierwsza liczba na osi pionowej, a dopiero na końcu obrazek.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Statystyka i prawdopodobieństwo”.
Zadania
Zadanie 1
W tabeli zebrano informacje o liczbie uczniów w szkołach podstawowych i ponadpodstawowych w pewnym mieście.
$$\begin{array}{l|c|c|c}\text{Rodzaj szkoły} & \text{Dziewczęta} & \text{Chłopcy} & \text{Razem} \\ \hline\text{Szkoła Podstawowa nr 3} & 220 & 225 & 445 \\\text{Szkoła Podstawowa nr 8} & 180 & 125 & 305 \\\text{Liceum Ogólnokształcące} & 300 & 200 & 500 \\\text{Technikum Budowlane} & 20 & 350 & 370 \\\text{Technikum Gastronomiczne} & 200 & 50 & 250 \\\text{Technikum Informatyczne} & 80 & 300 & 380 \\ \hline\text{RAZEM} & 1000 & 1250 & 2250\end{array}$$
Odczytaj z tabeli potrzebne dane i odpowiedz na pytania.
Zadanie 2
Diagram przedstawia liczbę dziewcząt i liczbę chłopców w sześciu szkołach pewnego miasta (SP3 i SP8 to szkoły podstawowe, LO — liceum, TB, TG i TI — technika).
Odczytaj z diagramu potrzebne dane i odpowiedz na pytania.
Zadanie 3
Na diagramach przedstawiono, jak dziewczęta i chłopcy z pewnego miasta rozkładają się na sześć szkół (procenty podano w zaokrągleniu).
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 4
Przyjrzyj się poniższej tabeli. Podano w niej przeciętne miesięczne zużycie kilku produktów przypadające na jedną osobę w gospodarstwach domowych o różnej liczbie osób. Kolumny tabeli to liczba osób w gospodarstwie.
$$\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c}\text{Produkt} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{6 i więcej} \\ \hline\text{Mleko (w l)} & 8{,}42 & 7{,}65 & 6{,}93 & 6{,}14 & 5{,}78 & 5{,}26 \\\text{Warzywa (w kg)} & 7{,}18 & 7{,}34 & 6{,}85 & 6{,}21 & 6{,}47 & 6{,}03 \\\text{Cukier (w kg)} & 1{,}64 & 1{,}52 & 1{,}38 & 1{,}21 & 1{,}17 & 1{,}09 \\\text{Ryby (w kg)} & 0{,}92 & 0{,}84 & 0{,}71 & 0{,}63 & 0{,}58 & 0{,}54\end{array}$$
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 5
Diagram przedstawia liczbę zgłoszeń przyjętych w ciągu roku przez miejskie schronisko dla zwierząt w kolejnych miesiącach.
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 6
Diagram przedstawia wyniki konkursu matematycznego: pokazuje, ile dziewcząt i ilu chłopców zdobyło liczbę punktów należącą do danego przedziału.
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 7
Wykres przedstawia cenę (w zł) jednej akcji firmy Wiatrak SA w kolejnych 21 dniach pewnego miesiąca.
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 8
Na wykresie podano liczbę mieszkańców (w tysiącach) trzech osiedli w wybranych latach.
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 9
Diagram procentowy przedstawia wyniki wyborów prezesa koła fotograficznego. Koło liczy 600 członków.
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 10
???? W pewnym roku w okolicach miasta Zalesie zdarzyło się 5400 kolizji drogowych, z czego 4200 zdarzeń wynikało z winy kierujących pojazdami, a 600 — z winy pieszych. Na diagramie przedstawiono podział kolizji spowodowanych przez kierujących ze względu na ich przyczynę:
A — nadmierna prędkość pojazdu, B — nieustąpienie pierwszeństwa przejazdu, C — nieprawidłowe wyprzedzanie lub inny manewr, D — nieustąpienie pierwszeństwa pieszemu, E — zbyt mała odległość między pojazdami, F — inne przyczyny.
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 11
W tabeli podano, o ile procent ceny wybranych artykułów w sześciu miastach różnią się od średniej ceny w Polsce. Liczba dodatnia oznacza, że artykuł jest droższy od średniej, a ujemna — że jest tańszy.
$$\begin{array}{l|c|c|c|c}\text{Miasto} & \text{chleb} & \text{ser żółty} & \text{jabłka} & \text{masło} \\ \hline\text{Warszawa} & +18\% & -2\% & +20\% & +10\% \\\text{Gdańsk} & +12\% & +4\% & +11\% & -8\% \\\text{Poznań} & -3\% & -1\% & -4\% & +2\% \\\text{Katowice} & +3\% & -17\% & +2\% & -6\% \\\text{Kraków} & +28\% & -2\% & +5\% & -4\% \\\text{Lublin} & -1\% & +4\% & -2\% & +12\%\end{array}$$
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 12
Diagramy trzeba czytać bardzo uważnie — sposób przedstawienia danych bywa używany do wprowadzania czytelnika w błąd. W każdym podpunkcie oba diagramy przedstawiają te same dane, a mimo to podpisy pod nimi są różne. Przyjrzyj się dokładnie każdej parze i wyjaśnij, na czym polega manipulacja.
Zadanie 13
Popatrz na diagram i ustal, które zdania są prawdziwe. Diagram przedstawia roczną produkcję rowerów (w tysiącach sztuk) w pewnej fabryce.
Oceń każde zdanie.
Zadanie 14
W tabeli łodygowo-listkowej przedstawiono wyniki (w cm) szkolnego konkursu w skoku w dal z miejsca dziewcząt. Po lewej stronie kreski są pierwsze dwie cyfry wyniku, a po prawej — ostatnia cyfra.
$$\begin{array}{r|l}12 & 4\;\;8 \\13 & 1\;\;5\;\;5\;\;9 \\14 & 0\;\;2\;\;3\;\;6\;\;8 \\15 & 1\;\;4\;\;7 \\16 & 2\;\;6 \\17 & 3\end{array}$$
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 15
Z badania przeprowadzonego wśród dorosłych mieszkańców pewnego miasta wynika, że $28\%$ z nich nie uprawia żadnego sportu. Na diagramie przedstawiono, jakie sporty uprawiają ci badani, którzy deklarują, że w ogóle uprawiają sport. Badani odpowiadali też na pytanie, czy w ciągu ostatniego tygodnia uprawiali jakiś sport — $65\%$ wszystkich badanych odpowiedziało „nie”.
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 16
W tabeli podano rozkład jazdy autobusu linii 12 na trasie z Dębowa do Lipnicy. Każda kolumna oznaczona liczbą rzymską to jeden kurs, a w wierszach podano godziny odjazdu z kolejnych przystanków.
$$\begin{array}{l|c|c|c|c|c}\text{Przystanek} & \text{I} & \text{II} & \text{III} & \text{IV} & \text{V} \\ \hline\text{Dębowo} & \text{6:10} & \text{7:35} & \text{9:05} & \text{13:20} & \text{17:45} \\\text{Sosnowa} & \text{6:22} & \text{7:47} & \text{9:17} & \text{13:32} & \text{17:57} \\\text{Rynek} & \text{6:41} & \text{8:06} & \text{9:36} & \text{13:51} & \text{18:16} \\\text{Szpital} & \text{6:53} & \text{8:18} & \text{9:48} & \text{14:03} & \text{18:28} \\\text{Lipnica} & \text{7:08} & \text{8:33} & \text{10:03} & \text{14:18} & \text{18:43}\end{array}$$
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 17
Wykres przedstawia temperaturę powietrza mierzoną co dwie godziny w ciągu jednej doby w pewnej stacji meteorologicznej.
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 18
W szkole liczącej 750 uczniów przeprowadzono ankietę na temat sposobu dojazdu do szkoły. Wyniki przedstawiono na diagramie procentowym:
A — pieszo, B — autobusem, C — rowerem, D — samochodem, E — w inny sposób.
Odpowiedz na pytania.
Zadanie 19
Wybierz poprawną odpowiedź.
A. o ok. $40\%$ B. o ok. $71\%$ C. o ok. $140\%$ D. o ok. $2\%$
A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{7}{10}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{4}{5}$
A. ok. $0{,}9$ mln B. ok. $3{,}9$ mln C. ok. $1{,}4$ mln D. ok. $1{,}1$ mln
$$\begin{array}{c|c|c}\text{Miesiąc} & 2019 & 2023 \\ \hline\text{I} & 142 & 118 \\ \text{II} & 131 & 126 \\ \text{III} & 158 & 171 \\\text{IV} & 164 & 140 \\ \text{V} & 176 & 152 \\ \text{VI} & 190 & 168 \\\text{VII} & 205 & 182 \\ \text{VIII} & 198 & 176 \\ \text{IX} & 172 & 155 \\\text{X} & 160 & 148 \\ \text{XI} & 148 & 134 \\ \text{XII} & 136 & 145 \\ \hline\text{Razem} & 1980 & 1815\end{array}$$
W ilu miesiącach 2023 roku zdarzało się przeciętnie więcej niż 5 wypadków dziennie?
A. w trzech B. w czterech C. w pięciu D. w sześciu
A. Liczba wypadków w 2023 roku była o ponad $8\%$ mniejsza niż w 2019 roku.
B. W październiku 2023 roku wypadków było o ponad $10\%$ mniej niż w październiku 2019 roku.
C. W lipcu 2023 roku wypadków było ponad $1{,}5$ raza więcej niż w styczniu tego roku.
D. W miesiącu, w którym w 2019 roku było najwięcej wypadków, było ich najwięcej także w 2023 roku.
A. w listopadzie B. w grudniu C. w styczniu D. w lutym
Zadanie 20
W pewnym kinie policzono widzów na czterech seansach tego samego filmu. Te same dane przedstawiono na dwóch diagramach: słupkowym i kołowym.
Uzasadnij, że odpowiedź na pytanie „Na którym seansie było najwięcej widzów?” można łatwo odczytać z każdego z tych diagramów. Wyjaśnij też, dlaczego odpowiedzi na pytanie „Ilu widzów było na seansie o 18:00?” nie da się odczytać z jednego z nich.
Zadanie 21
Poniższy diagram przedstawia prędkości 1200 samochodów zmierzone w pewnym punkcie drogi krajowej (prędkość podano w km/h). Dozwolona prędkość w tym miejscu wynosiła 70 km/h.
Ilu kierowców przekroczyło dozwoloną prędkość? Czy to prawda, że mniej więcej co trzeci kierowca jechał z nadmierną prędkością?
Zadanie 22
W tabeli łodygowo-listkowej podano masę 30 orzechów włoskich (w gramach). Po lewej stronie kreski stoją pierwsze dwie cyfry wyniku (część całkowita i cyfra dziesiątych), a po prawej — ostatnia cyfra, czyli cyfra setnych.
$$\begin{array}{r|l}0{,}9 & 4\;\;7 \\1{,}0 & 2\;\;5\;\;8\;\;8 \\1{,}1 & 0\;\;3\;\;3\;\;6\;\;7\;\;9 \\1{,}2 & 1\;\;1\;\;4\;\;5\;\;5\;\;8\;\;9 \\1{,}3 & 0\;\;2\;\;4\;\;6\;\;7\;\;8\;\;9 \\1{,}4 & 1\;\;3\;\;5 \\1{,}5 & 2\end{array}$$
Odczytaj, ile spośród zważonych orzechów miało masę większą niż $1{,}09$ g i jednocześnie mniejszą niż $1{,}39$ g.