Pole każdego wielokąta da się policzyć, sprowadzając go do prostokątów i trójkątów. Wszystkie wzory na pola, które poznajesz, wyprowadza się właśnie z pola prostokąta – przez rozcinanie i przekładanie kawałków figury.
Wzory
| Figura | Wzór | Oznaczenia |
|---|---|---|
| prostokąt | $P = a \cdot b$ | $a$, $b$ – boki |
| równoległobok | $P = a \cdot h$ | $a$ – podstawa, $h$ – wysokość na tę podstawę |
| trójkąt | $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ | $a$ – podstawa, $h$ – wysokość |
| romb | $P = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$ | $e$, $f$ – przekątne |
| trapez | $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ | $a$, $b$ – podstawy, $h$ – wysokość |
Romb ma dwa wzory: jako równoległobok $P = a \cdot h$, a jako romb $P = \frac{1}{2} e f$. Wybierasz ten, do którego masz dane.
Wysokość – najważniejszy szczegół
Wysokość to odcinek prostopadły do podstawy, a nie bok ukośny. W równoległoboku i trójkącie rozwartokątnym wysokość może wypaść poza figurą – i to jest w porządku. Zawsze pilnuj, żeby wysokość była opuszczona na tę podstawę, którą wstawiasz do wzoru.
Przykłady
1. Równoległobok ma podstawę 12 cm i wysokość 7 cm. Oblicz pole.
$P = 12 \cdot 7 = 84$ cm$^2$.
2. Trójkąt ma pole 48 cm$^2$ i podstawę 16 cm. Oblicz wysokość.
Z wzoru $48 = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot h$, czyli $48 = 8h$, więc $h = 6$ cm.
3. Przekątne rombu mają 10 cm i 14 cm. Oblicz pole.
$P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 14 = 70$ cm$^2$.
4. Trapez ma podstawy 5 cm i 11 cm oraz pole 64 cm$^2$. Oblicz wysokość.
$64 = \frac{(5 + 11) \cdot h}{2} = \frac{16h}{2} = 8h$, więc $h = 8$ cm.
Figury złożone
Gdy figura nie pasuje do żadnego wzoru, stosuj jedną z dwóch metod:
- rozcinanie – podziel figurę na prostokąty i trójkąty, policz pola i dodaj;
- dopełnianie – wpisz figurę w prostokąt, policz jego pole i odejmij pola zbędnych kawałków.
Typowe błędy
- Wstawianie do wzoru boku ukośnego zamiast wysokości – to najczęstszy błąd w równoległoboku i trapezie.
- Zapominanie o dzieleniu przez 2 we wzorze na pole trójkąta i rombu.
- Mnożenie przekątnych rombu bez połowy – dostajesz pole prostokąta, w który romb jest wpisany, czyli wynik dwa razy za duży.
- Mieszanie jednostek – podstawa w metrach, wysokość w centymetrach.
Po co to się przydaje
Wzory na pola to codzienność każdego, kto coś buduje albo remontuje: skos dachu to trapez, ściana szczytowa to trójkąt, a działka rzadko bywa prostokątem. Geodeci liczą pola nieregularnych działek dokładnie tą metodą – dzieląc je na trójkąty.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Figury geometryczne”.