W trójkącie prostokątnym suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. To twierdzenie Pitagorasa – najsłynniejsze twierdzenie geometrii.
$$a^2 + b^2 = c^2$$
gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne (boki tworzące kąt prosty), a $c$ to przeciwprostokątna – bok leżący naprzeciw kąta prostego, zawsze najdłuższy.
Jak z tego korzystać
Wzór działa w obie strony – zależnie od tego, którego boku szukamy.
| Szukasz | Wzór |
|---|---|
| przeciwprostokątnej $c$ | $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ |
| przyprostokątnej $a$ | $a = \sqrt{c^2 – b^2}$ |
Szukając przyprostokątnej, odejmujemy – od kwadratu przeciwprostokątnej odejmujemy kwadrat drugiej przyprostokątnej. To najczęstsze miejsce pomyłek.
Twierdzenie odwrotne
Działa też w drugą stronę: jeśli w trójkącie $a^2 + b^2 = c^2$, to trójkąt jest prostokątny. To pozwala sprawdzić prostopadłość bez kątomierza – wystarczą trzy pomiary długości.
Trójki pitagorejskie
To zestawy liczb całkowitych spełniające twierdzenie. Warto znać na pamięć – oszczędzają czas:
- $3, 4, 5$ (bo $9 + 16 = 25$)
- $5, 12, 13$ (bo $25 + 144 = 169$)
- $8, 15, 17$
- $7, 24, 25$
Każdą trójkę można pomnożyć przez tę samą liczbę i nadal działa: $6, 8, 10$ czy $9, 12, 15$.
Przykłady
1. Przyprostokątne mają 6 cm i 8 cm. Oblicz przeciwprostokątną.
$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm.
2. Przeciwprostokątna ma 13 cm, jedna przyprostokątna 5 cm. Oblicz drugą.
$b = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12$ cm.
3. Czy trójkąt o bokach 9, 12, 15 jest prostokątny?
Sprawdzamy najdłuższy bok jako $c$: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$, a $15^2 = 225$. Równość zachodzi – tak, trójkąt jest prostokątny.
4. Czy trójkąt o bokach 4, 6, 8 jest prostokątny?
$4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$, a $8^2 = 64$. Skoro $52 \neq 64$ – nie.
Typowe błędy
- Dodawanie zamiast odejmowania przy szukaniu przyprostokątnej.
- Branie za przeciwprostokątną boku, który nie leży naprzeciw kąta prostego – to zawsze najdłuższy bok.
- Stosowanie twierdzenia do trójkąta, który nie jest prostokątny.
- Zapominanie o pierwiastku na końcu: z $c^2 = 100$ wynika $c = 10$, nie 100.
Po co to się przydaje
Murarz sprawdza kąt prosty metodą 3-4-5, wbijając trzy paliki. Nawigacja, geodezja, grafika komputerowa – wszędzie tam liczy się odległości między punktami, a to nic innego niż Pitagoras.
Zgodne z: Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Trójkąty prostokątne i twierdzenie Pitagorasa”.