Długości i pola w układzie współrzędnych

Odcinek o długości 1 na osiach to odcinek jednostkowy, a zbudowany na nim kwadrat to kwadrat jednostkowy – jego pole przyjmujemy za 1. Pole figury podajemy więc w „kwadracikach”, czyli jednostkach kwadratowych ($j^2$).

Tu jest najprościej. Boki odczytujesz jako różnice współrzędnych i podstawiasz do znanych wzorów: $P = a \cdot b$ dla prostokąta, $P = \frac{1}{2} a h$ dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równoległych do osi.

Gdy figura ma boki ukośne, nie da się bezpośrednio odczytać wysokości. Wtedy:

1. Wpisz figurę w najmniejszy prostokąt o bokach równoległych do osi, który ją obejmuje.
2. Policz pole tego prostokąta.
3. Odejmij pola trójkątów prostokątnych, które zostały poza figurą.

Ta metoda działa zawsze, także dla wielokątów o wielu wierzchołkach.

1. Prostokąt ma wierzchołki $A = (-2, 1)$, $B = (6, 1)$, $C = (6, 5)$, $D = (-2, 5)$. Oblicz pole i obwód.

Bok poziomy: $6 – (-2) = 8$. Bok pionowy: $5 – 1 = 4$. Pole: $8 \cdot 4 = 32$ $j^2$. Obwód: $2 \cdot (8 + 4) = 24$ $j$.

2. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $K = (1, 2)$, $L = (9, 2)$, $M = (4, 8)$.

Bok $KL$ jest poziomy, jego długość to $9 – 1 = 8$ – to podstawa. Wysokość mierzymy pionowo od $M$ do prostej $y = 2$: to $8 – 2 = 6$. Pole: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24$ $j^2$.

3. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A = (0, 0)$, $B = (5, 2)$, $C = (2, 6)$ metodą dopełniania.

Najmniejszy prostokąt obejmujący trójkąt: od $x = 0$ do $x = 5$ i od $y = 0$ do $y = 6$. Pole prostokąta: $5 \cdot 6 = 30$. Odcinamy trzy trójkąty prostokątne: pod $AB$ – przyprostokątne 5 i 2, pole $\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$; po prawej od $BC$ – przyprostokątne 3 i 4, pole $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$; po lewej od $AC$ – przyprostokątne 2 i 6, pole $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$. Pole trójkąta: $30 – 5 – 6 – 6 = 13$ $j^2$.

4. Trapez ma wierzchołki $P = (0, 0)$, $Q = (8, 0)$, $R = (6, 4)$, $S = (2, 4)$. Oblicz pole.

Podstawy są poziome: $PQ = 8$ i $SR = 6 – 2 = 4$. Wysokość to odległość między prostymi $y = 0$ i $y = 4$, czyli 4. Pole: $\frac{(8 + 4) \cdot 4}{2} = \frac{48}{2} = 24$ $j^2$.

• Branie za wysokość długości boku ukośnego – wysokość zawsze mierzymy prostopadle.
• Przy dopełnianiu: zapominanie o jednym z odcinanych trójkątów albo dodawanie zamiast odejmowania.
• Mylenie pola z obwodem.

Geodeta, który ma współrzędne punktów granicznych działki, liczy jej powierzchnię dokładnie tą metodą. Ten sam mechanizm siedzi w programach CAD i w silnikach gier, które muszą wiedzieć, jaką powierzchnię zajmuje obiekt.