Obliczenia procentowe łączą wszystkie poznane typy zadań: liczenie procentu z liczby, wyznaczanie procentu i odtwarzanie całości. Klucz do zadania tekstowego to rozpoznanie, która z trzech liczb – całość, część, procent – jest szukana.
Schemat rozpoznawania
| Znamy | Szukamy | Działanie |
|---|---|---|
| całość i procent | część | mnożymy: $\frac{p}{100} \cdot a$ |
| część i całość | procent | dzielimy: $\frac{a}{b} \cdot 100\%$ |
| część i procent | całość | dzielimy: $a : \frac{p}{100}$ |
Zanim ruszysz z rachunkiem, wypisz, co jest dane, a co szukane. Ten jeden krok eliminuje większość błędów w zadaniach tekstowych.
Podatek VAT i cena netto
Cena brutto to cena netto powiększona o VAT. Przy stawce $23\%$ mnożnikiem jest $1{,}23$.
- Netto $200$ zł $\to$ brutto: $200 \cdot 1{,}23 = 246$ zł
- Brutto $246$ zł $\to$ netto: $246 : 1{,}23 = 200$ zł
Uwaga – żeby z brutto wrócić do netto, dzielimy przez $1{,}23$, a nie odejmujemy $23\%$. Odejmowanie $23\%$ od $246$ zł dałoby $189{,}42$ zł, co jest błędem.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1. Cena netto $150$ zł, VAT $23\%$. Ile wynosi cena brutto?
$150 \cdot 1{,}23 = 184{,}50$ zł.
Przykład 2. Sklep obniżył cenę o $30\%$, a potem podniósł o $30\%$. Cena wyjściowa to $500$ zł. Ile jest teraz?
$500 \cdot 0{,}7 \cdot 1{,}3 = 500 \cdot 0{,}91 = 455$ zł. Cena spadła, mimo że procenty były równe.
Przykład 3. W ankiecie $180$ osób ($45\%$ badanych) wybrało odpowiedź „tak”. Ilu było badanych?
$180 : 0{,}45 = 400$ osób.
Przykład 4. Roztwór $2$ kg zawiera $10\%$ soli. Ile soli trzeba dosypać, żeby stężenie wzrosło do $20\%$?
Soli jest $0{,}1 \cdot 2 = 0{,}2$ kg. Po dosypaniu $x$ kg soli masa roztworu to $2 + x$, a masa soli $0{,}2 + x$. Warunek: $\frac{0{,}2 + x}{2 + x} = 0{,}2$. Stąd $0{,}2 + x = 0{,}4 + 0{,}2x$, czyli $0{,}8x = 0{,}2$, więc $x = 0{,}25$ kg.
Typowe błędy
- Rozwiązywanie zadania złym typem – liczenie procentu tam, gdzie trzeba odtworzyć całość.
- Odejmowanie procentu od ceny brutto, żeby dostać netto.
- Sumowanie procentów przy kolejnych zmianach.
- Zapominanie, że przy dosypywaniu składnika rośnie i licznik, i mianownik.
Po co to się przydaje
Zadania procentowe stanowią stały punkt egzaminu ósmoklasisty, a poza szkołą – podstawę każdej decyzji finansowej. Kredyt, lokata, rabat, podatek, stężenie roztworu, skład stopu: wszystko sprowadza się do tych trzech schematów. Kto je zna, ten liczy szybko i nie daje się oszukać.
Zgodne z: Matematyka z Plusem i Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Procenty i proporcjonalność”.