Działania na potęgach i pierwiastkach

Dla $a \ge 0$:

$$\sqrt{a^2} = a \qquad (\sqrt{a})^2 = a \qquad \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$$

Dla dowolnego $a$:

$$\sqrt[3]{a^3} = a \qquad (\sqrt[3]{a})^3 = a$$

Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków, a pierwiastek z ilorazu — ilorazowi pierwiastków. Dla $a \ge 0$ i $b \ge 0$ (przy dzieleniu $b \gt 0$):

$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Dla pierwiastków sześciennych to samo, tylko $a$ i $b$ mogą być dowolne:

$$\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} \qquad \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$$

Dzięki temu duże liczby rozbijamy na kawałki, które umiemy spierwiastkować:

• $\sqrt{4900} = \sqrt{49 \cdot 100} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{100} = 7 \cdot 10 = 70$
• $\sqrt{0{,}49 \cdot 900} = 0{,}7 \cdot 30 = 21$
• $\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1{,}2$
• $\sqrt[3]{0{,}027} = \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} = \frac{3}{10} = 0{,}3$
• $\sqrt[3]{125 \cdot 1000} = 5 \cdot 10 = 50$
• $\sqrt[3]{-0{,}008} = -\sqrt[3]{\frac{8}{1000}} = -\frac{2}{10} = -0{,}2$

Uwaga, to działa tylko dla mnożenia i dzielenia. Dla sumy jest nieprawdą: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, a $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$.

Gdy nie widać, na co rozbić liczbę, rozkładamy ją na czynniki pierwsze. Potem przy pierwiastku kwadratowym łączymy czynniki w pary, a przy sześciennym w trójki — z każdej pary (trójki) jeden czynnik wychodzi przed pierwiastek.

$$\sqrt{196} = \sqrt{2^2 \cdot 7^2} = 2 \cdot 7 = 14 \qquad \sqrt{441} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2} = 3 \cdot 7 = 21$$

$$\sqrt{1156} = \sqrt{2^2 \cdot 17^2} = 2 \cdot 17 = 34 \qquad \sqrt[3]{2744} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 7^3} = 2 \cdot 7 = 14$$

Liczbę 2744 rozkładamy kolejno przez 2: $2744 = 2 \cdot 1372 = 2 \cdot 2 \cdot 686 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 343$, a $343 = 7^3$.

Skrót, który oszczędza dużo pracy: pod pierwiastkiem kwadratowym wykładnik dzielimy przez 2, pod sześciennym przez 3 (jeśli dzieli się bez reszty):

$$\sqrt{3^4} = 3^2 = 9 \qquad \sqrt[3]{2^9} = 2^3 = 8 \qquad \sqrt{5^6} = 5^3 = 125$$

W dłuższych iloczynach robimy to z każdym czynnikiem osobno:

• $\sqrt{3^4 \cdot 5^2} = 3^2 \cdot 5 = 45$
• $\sqrt[3]{2^6 \cdot 10^3} = 2^2 \cdot 10 = 40$
• $\sqrt{2^4 \cdot 3^6 \cdot 5^2} = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 = 4 \cdot 27 \cdot 5 = 540$
• $\sqrt{7^2 \cdot 4^4} = 7 \cdot 4^2 = 112$

Z literami jest identycznie (zakładamy, że oznaczają liczby dodatnie):

$$\sqrt{25x^2} = 5x \qquad \sqrt{x^{10}} = x^5 \qquad \sqrt{36x^4y^2} = 6x^2y \qquad \sqrt{\frac{9y^2}{z^6}} = \frac{3y}{z^3}$$

$$\sqrt[3]{8x^9z^6} = 2x^3z^2 \qquad \sqrt[3]{\frac{1}{27}y^3} = \frac{1}{3}y$$

Równość $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ czytana od prawej do lewej pozwala schować dwa pierwiastki pod jeden. Liczby stojące przed pierwiastkami mnożymy osobno:

$$5\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{5} = (5 \cdot 2)\sqrt{3 \cdot 5} = 10\sqrt{15} \qquad 2\sqrt[3]{5} \cdot 3\sqrt[3]{4} = 6\sqrt[3]{20}$$

Przy dzieleniu tak samo: $\frac{6\sqrt[3]{-12}}{3\sqrt[3]{-4}} = 2\sqrt[3]{\frac{-12}{-4}} = 2\sqrt[3]{3}$.

Pierwiastki mnożą się też wtedy, gdy liczymy pole figury o niewymiernych bokach:

Choć oba boki są niewymierne, pole wyszło równe 6.

$\sqrt{50}$ nie jest ładną liczbą, ale można go uprościć. Szukamy pod pierwiastkiem jak największego kwadratu i wyciągamy go przed znak:

$$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$

Krok po kroku:

1. Rozłóż liczbę podpierwiastkową na iloczyn dwóch liczb tak, żeby jedna z nich była kwadratem (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…). Bierz największy, jaki się da.
2. Rozdziel pierwiastek na dwa: $\sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2}$.
3. Policz pierwiastek z kwadratu, drugi zostaw.

• $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
• $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$
• $\sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$
• $\sqrt{2700} = \sqrt{900 \cdot 3} = 30\sqrt{3}$
• $\sqrt{242} = \sqrt{121 \cdot 2} = 11\sqrt{2}$

Przy pierwiastku sześciennym szukamy sześcianu (8, 27, 64, 125, 216, 1000…):

• $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}$
• $\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = 2\sqrt[3]{5}$
• $\sqrt[3]{-250} = -\sqrt[3]{125 \cdot 2} = -5\sqrt[3]{2}$
• $\sqrt[3]{2000} = \sqrt[3]{1000 \cdot 2} = 10\sqrt[3]{2}$

Gdy liczba jest duża i nie widać kwadratu, rozkładamy ją na czynniki pierwsze i łączymy w pary:

$$\sqrt{288} = \sqrt{2^5 \cdot 3^2} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 2} = 2^2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}$$

$$\sqrt{675} = \sqrt{3^3 \cdot 5^2} = \sqrt{3^2 \cdot 5^2 \cdot 3} = 15\sqrt{3} \qquad \sqrt{1620} = \sqrt{2^2 \cdot 3^4 \cdot 5} = 18\sqrt{5}$$

Tak samo postępujemy, gdy pod pierwiastkiem od razu stoi potęga — zostawiamy pod pierwiastkiem tyle, żeby reszta wykładnika dzieliła się przez 2 (albo przez 3):

$$\sqrt{5^3} = \sqrt{5^2 \cdot 5} = 5\sqrt{5} \qquad \sqrt{3^5} = \sqrt{3^4 \cdot 3} = 9\sqrt{3} \qquad \sqrt[3]{2^7} = \sqrt[3]{2^6 \cdot 2} = 4\sqrt[3]{2}$$

Po co to robimy? Bo z takiej postaci od razu widać, ile mniej więcej wynosi liczba. Bok kwadratu o polu 50 to $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, a skoro $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, to bok ma około $7{,}07$:

Pierwiastków $\sqrt{27}$ i $\sqrt{3}$ nie da się dodać wprost. Ale po wyłączeniu czynnika okazuje się, że to „ten sam pierwiastek”:

$$\sqrt{27} + 4\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$$

Dlatego w takich zadaniach najpierw upraszczamy każdy składnik, a dopiero potem redukujemy wyrazy podobne:

• $2\sqrt{75} + 3\sqrt{3} = 2 \cdot 5\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 10\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 13\sqrt{3}$
• $\sqrt{50}-3\sqrt{18} = 5\sqrt{2}-3 \cdot 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}-9\sqrt{2} = -4\sqrt{2}$
• $\sqrt{24} + \sqrt{54} + \sqrt{150} = 2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} + 5\sqrt{6} = 10\sqrt{6}$
• $\sqrt{7^3}-4\sqrt{7} = 7\sqrt{7}-4\sqrt{7} = 3\sqrt{7}$
• $\sqrt[3]{5^4} + \sqrt[3]{5} = 5\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{5} = 6\sqrt[3]{5}$

Operacja odwrotna. Liczbę stojącą przed pierwiastkiem kwadratowym wnosimy pod pierwiastek, podnosząc ją do kwadratu (a przed sześciennym — do sześcianu):

$$a\sqrt{b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a^2 b} \qquad a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3 b}$$

• $4\sqrt{5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$
• $6\sqrt{3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108}$
• $\frac{1}{3}\sqrt{18} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 18} = \sqrt{2}$
• $0{,}2\sqrt{500} = \sqrt{0{,}04 \cdot 500} = \sqrt{20}$
• $2\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}$

Najczęściej przydaje się to przy porządkowaniu liczb: gdy wszystko siedzi pod pierwiastkiem, wystarczy porównać liczby podpierwiastkowe. Uporządkujmy rosnąco $2\sqrt{5}$, $\ 3\sqrt{2}$, $\ \sqrt{17}$, $\ 4\sqrt{3}$:

$$2\sqrt{5} = \sqrt{20}, \quad 3\sqrt{2} = \sqrt{18}, \quad \sqrt{17} = \sqrt{17}, \quad 4\sqrt{3} = \sqrt{48}$$

Skoro $17 \lt 18 \lt 20 \lt 48$, to $\sqrt{17} \lt 3\sqrt{2} \lt 2\sqrt{5} \lt 4\sqrt{3}$.

Korzystamy ze wzoru na potęgę iloczynu:

$$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$$

$$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

$$(-2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$$

Pierwiastkowanie i potęgowanie mają ten sam priorytet – wykonujemy je przed mnożeniem i dzieleniem. Działania pod pierwiastkiem robimy najpierw, tak jakby pierwiastek był nawiasem:

$$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

To zupełnie co innego niż $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 4 + 3 = 7$.

Wyrażenia z pierwiastkami mnożymy tak samo jak wyrażenia algebraiczne – każdy składnik przez każdy:

$$\sqrt{2}(3 + \sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} + 2$$

$$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3}-1) = 3-\sqrt{3} + \sqrt{3}-1 = 2$$

Zwróć uwagę na drugi przykład – wynik wyszedł liczbą wymierną, mimo że oba czynniki były niewymierne.

Przykład 1. Oblicz $(2\sqrt{5})^2$.

$2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Przykład 2. Oblicz $\sqrt{9 + 16}$ oraz $\sqrt{9} + \sqrt{16}$.

Pierwsze: $\sqrt{25} = 5$. Drugie: $3 + 4 = 7$. Różne wyniki – pierwiastek nie rozdziela się na sumę.

Przykład 3. Zapisz w postaci sumy: $\sqrt{5}(2 + \sqrt{5})$.

$2\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 2\sqrt{5} + 5$.

Przykład 4. Oblicz $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7}-2)$.

$7-2\sqrt{7} + 2\sqrt{7}-4 = 7-4 = 3$.

Przykład 5. Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka: $\sqrt{1008}$.

Rozkładam: $1008 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7$. W parach mam $2^4$ i $3^2$, więc przed pierwiastek wychodzi $2^2 \cdot 3 = 12$, a pod nim zostaje 7: $\sqrt{1008} = 12\sqrt{7}$.

Przykład 6. Zapisz krócej: $\sqrt{8} \cdot \sqrt{6}$.

Najpierw jeden pierwiastek: $\sqrt{8 \cdot 6} = \sqrt{48}$. Teraz wyłączam czynnik: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Przykład 7. Oblicz pole prostokąta o bokach $4\sqrt{3}$ i $3\sqrt{2}$.

$P = 4\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{6}$.

Przykład 8. Czy $\sqrt{50} \cdot \sqrt{0{,}5}$ jest liczbą naturalną?

$\sqrt{50} \cdot \sqrt{0{,}5} = \sqrt{50 \cdot 0{,}5} = \sqrt{25} = 5$. Tak, to liczba naturalna.

• Rozdzielanie pierwiastka na sumę. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Pomijanie kwadratu współczynnika. $(3\sqrt{2})^2$ to $18$, nie $3 \cdot 2 = 6$.
• Zapominanie, że $(\sqrt{a})^2 = a$ – to skraca rachunki.
• Wyłączanie zbyt małego kwadratu: $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$ to jeszcze nie koniec, bo $\sqrt{18}$ też się upraszcza. Poprawnie $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
• Włączanie czynnika bez podniesienia go do potęgi: $3\sqrt{2}$ to $\sqrt{18}$, a nie $\sqrt{6}$.
• Grupowanie czynników w pary przy pierwiastku sześciennym. Tam potrzebne są trójki.
• Wyłączanie czynnika z minusem przy pierwiastku kwadratowym. Przed $\sqrt{\ }$ liczba podpierwiastkowa musi zostać nieujemna.

Te umiejętności są niezbędne w geometrii – liczenie pól i obwodów figur, w których pojawia się przekątna, prowadzi wprost do wyrażeń z pierwiastkami. Bez nich nie ruszysz z twierdzeniem Pitagorasa.