Działania na potęgach i pierwiastkach

Dla $a \geq 0$:

$$\sqrt{a^2} = a \qquad (\sqrt{a})^2 = a \qquad \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$$

Dla dowolnego $a$:

$$\sqrt[3]{a^3} = a \qquad (\sqrt[3]{a})^3 = a$$

Korzystamy ze wzoru na potęgę iloczynu:

$$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$$

$$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$

$$(-2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$$

Pierwiastkowanie i potęgowanie mają ten sam priorytet – wykonujemy je przed mnożeniem i dzieleniem. Działania pod pierwiastkiem robimy najpierw, tak jakby pierwiastek był nawiasem:

$$\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

To zupełnie co innego niż $\sqrt{16} + \sqrt{9} = 3 + 4 = 7$.

Wyrażenia z pierwiastkami mnożymy tak samo jak wyrażenia algebraiczne – każdy składnik przez każdy:

$$\sqrt{2}(3 + \sqrt{2}) = 3\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} + 2$$

$$(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} – 1) = 3 – \sqrt{3} + \sqrt{3} – 1 = 2$$

Zwróć uwagę na drugi przykład – wynik wyszedł liczbą wymierną, mimo że oba czynniki były niewymierne.

Przykład 1. Oblicz $(2\sqrt{5})^2$.

$2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

Przykład 2. Oblicz $\sqrt{9 + 16}$ oraz $\sqrt{9} + \sqrt{16}$.

Pierwsze: $\sqrt{25} = 5$. Drugie: $3 + 4 = 7$. Różne wyniki – pierwiastek nie rozdziela się na sumę.

Przykład 3. Zapisz w postaci sumy: $\sqrt{5}(2 + \sqrt{5})$.

$2\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 2\sqrt{5} + 5$.

Przykład 4. Oblicz $(\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} – 2)$.

$7 – 2\sqrt{7} + 2\sqrt{7} – 4 = 7 – 4 = 3$.

• Rozdzielanie pierwiastka na sumę. $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Pomijanie kwadratu współczynnika. $(3\sqrt{2})^2$ to $18$, nie $3 \cdot 2 = 6$.
• Zapominanie, że $(\sqrt{a})^2 = a$ – to skraca rachunki.

Te umiejętności są niezbędne w geometrii – liczenie pól i obwodów figur, w których pojawia się przekątna, prowadzi wprost do wyrażeń z pierwiastkami. Bez nich nie ruszysz z twierdzeniem Pitagorasa.