Kąt to figura złożona z dwóch półprostych o wspólnym początku (ramion) i części płaszczyzny między nimi. Wspólny początek nazywamy wierzchołkiem, a wielkość kąta mierzymy w stopniach – kąt pełny ma $360^\circ$.
Rodzaje kątów
| Nazwa | Miara |
|---|---|
| ostry | mniejszy niż $90^\circ$ |
| prosty | równy $90^\circ$ |
| rozwarty | między $90^\circ$ a $180^\circ$ |
| półpełny | równy $180^\circ$ |
| wklęsły | między $180^\circ$ a $360^\circ$ |
| pełny | równy $360^\circ$ |
Pary kątów
- Przyległe – mają wspólne ramię i razem dają kąt półpełny. Ich miary sumują się do $180^\circ$.
- Wierzchołkowe – powstają przy przecięciu dwóch prostych, leżą naprzeciw siebie. Zawsze mają równe miary.
- Odpowiadające (przy dwóch prostych równoległych przeciętych trzecią) – leżą po tej samej stronie prostej przecinającej, jeden nad, drugi pod prostą równoległą. Są równe.
- Naprzemianległe (też przy równoległych) – leżą po przeciwnych stronach prostej przecinającej, między prostymi równoległymi. Są równe.
Warto zapamiętać skrót: przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą powstaje 8 kątów, ale różne miary mają tylko dwie – i sumują się one do $180^\circ$.
Przykłady
1. Jeden z kątów przyległych ma $58^\circ$. Ile ma drugi?
$180^\circ – 58^\circ = 122^\circ$.
2. Jeden z kątów przyległych jest 5 razy większy od drugiego. Jakie mają miary?
Niech mniejszy ma $x$. Wtedy $x + 5x = 180^\circ$, czyli $6x = 180^\circ$, więc $x = 30^\circ$. Kąty mają $30^\circ$ i $150^\circ$.
3. Kąt $\alpha$ jest o $24^\circ$ większy od swojego kąta przyległego. Ile mierzy $\alpha$?
Gdyby oba były równe, każdy miałby $90^\circ$. Większy jest o połowę różnicy w górę: $90^\circ + 12^\circ = 102^\circ$. Drugi ma $78^\circ$. Sprawdzenie: $102 – 78 = 24$ i $102 + 78 = 180$.
4. Proste $k$ i $l$ są równoległe, przecina je prosta $m$. Jeden z kątów ma $71^\circ$. Jakie miary mają pozostałe?
Powstają tylko dwie wartości: $71^\circ$ i $180^\circ – 71^\circ = 109^\circ$. Kąty wierzchołkowe do $71^\circ$ oraz odpowiadające i naprzemianległe mają po $71^\circ$, wszystkie pozostałe po $109^\circ$.
Typowe błędy
- Mylenie kątów przyległych (suma $180^\circ$) z wierzchołkowymi (miary równe).
- Zakładanie, że kąty odpowiadające są równe także wtedy, gdy proste nie są równoległe – to działa tylko przy równoległych.
- Zapominanie o kącie wklęsłym – przy odczycie z rysunku czasem szukamy tego „większego”.
Po co to się przydaje
Kąty to język całej geometrii – bez nich nie policzysz kątów w trójkącie ani w wielokącie. Poza matematyką: nachylenie dachu, kąt skrętu kół, ustawienie paneli fotowoltaicznych, odbicie światła i dźwięku – wszystko to opisuje się kątami.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Figury geometryczne”.