Jednomiany

Ten sam jednomian można zapisać na wiele sposobów: $3 \cdot x \cdot 2 \cdot x \cdot y$ to to samo co $6x^2y$. Drugi zapis jest uporządkowany: najpierw jedna liczba, potem litery z potęgami, litery w kolejności alfabetycznej. Tak zapisany jednomian od razu widać, z czym się porównuje.

Porządkowanie ma zawsze dwa kroki:

1. Pomnóż wszystkie liczby i wynik postaw na początku.
2. Zbierz takie same litery i zapisz je jako potęgi, litery ustaw alfabetycznie.

Na przykład $\frac{1}{5}pqq \cdot (-10p)$: liczby dają $\frac{1}{5} \cdot (-10) = -2$, litery dają $p \cdot p = p^2$ oraz $q \cdot q = q^2$. Razem $-2p^2q^2$.

Współczynnik liczbowy

Liczba stojąca z przodu uporządkowanego jednomianu to jego współczynnik liczbowy. W $-4a^3$ współczynnikiem jest $-4$, w $0{,}2ab$ jest nim $0{,}2$.

Gdy z przodu nie stoi żadna liczba, współczynnik i tak istnieje – jest nim $1$ albo $-1$:

$$ab^2 = 1 \cdot ab^2, \qquad xy = 1 \cdot xy, \qquad -z^2 = (-1) \cdot z^2$$

To nie jest sztuczka dla porządku. W kolejnych tematach będziesz dodawać jednomiany podobne, dodając ich współczynniki – i wtedy trzeba wiedzieć, że przy $x$ stoi $1$, a przy $-x$ stoi $-1$.

Liczenie minusów

W iloczynie liczy się tylko ile jest minusów, a nie gdzie stoją:

• parzysta liczba minusów – wynik dodatni;
• nieparzysta liczba minusów – wynik ujemny.

Na przykład w $-2(-u)(-u)(-w)$ minusy są cztery, więc wynik jest dodatni: $2u^2w$. W $3(-x)(-a)$ minusy są dwa, więc wynik to $3ax$.

Uwaga o kolejności liter

Litery porządkujemy alfabetycznie, bo dzięki temu dwa zapisy tego samego jednomianu wyglądają identycznie i łatwo je porównać. Iloczyn liczb i liter można mnożyć w dowolnej kolejności, więc $3ab$ i $3ba$ to naprawdę to samo wyrażenie – po prostu pierwszy zapis jest uporządkowany.

Przykład: uporządkuj jednomian $banan$. Litery to $b$, $a$, $n$, $a$, $n$, czyli $a$ dwa razy, $b$ raz i $n$ dwa razy. Uporządkowany jednomian to $a^2bn^2$.

Jednomiany podobne to takie, które po uporządkowaniu mają dokładnie tę samą część literową – różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym.

Słowa „po uporządkowaniu” są tu ważne: $3ab$ i $7ba$ wyglądają różnie, ale po uporządkowaniu oba mają część literową $ab$, więc są podobne.

Ostatni wiersz jest najbardziej podchwytliwy. Same litery $x$ i $y$ się zgadzają, ale $x^2y$ to co innego niż $xy^2$ – sprawdź, podstawiając $x=2$ i $y=3$: pierwsze daje $12$, drugie $18$.

Mnożąc jednomiany, mnożymy osobno współczynniki i osobno litery. Przy tych samych literach wykładniki dodajemy:

$$x^3 \cdot x^2 = x^5$$

Dlaczego dodajemy, a nie mnożymy? Bo $x^3 \cdot x^2 = (x \cdot x \cdot x) \cdot (x \cdot x)$, czyli pięć iksów pomnożonych przez siebie. Wystarczy policzyć czynniki.

Wynik mnożenia dwóch jednomianów zawsze jest jednomianem:

$$4x \cdot 4y = 16xy, \qquad 2x \cdot (-3xy) = -6x^2y$$

Dzielenie jednomianów działa tak samo jak mnożenie, tylko w drugą stronę: dzielimy współczynniki i skracamy litery.

$$\frac{3a \cdot 6b}{3} = \frac{18ab}{3} = 6ab, \qquad \frac{9t^3 \cdot 2t}{6} = \frac{18t^4}{6} = 3t^4$$

W takich ułamkach najwygodniej najpierw uporządkować licznik (wymnożyć wszystko), a dopiero potem podzielić przez mianownik.

Ta sama umiejętność przydaje się, gdy trzeba znaleźć brakujący czynnik. Pytanie „przez co pomnożyć $4y$, żeby wyszło $12xy^2$?” rozwiązujemy dzieleniem:

• współczynniki: $12:4 = 3$;
• litera $x$: w wyniku jest, w czynniku jej nie ma, więc zostaje $x$;
• litera $y$: $y^2:y = y$.

Brakujący czynnik to $3xy$. Sprawdzenie: $4y \cdot 3xy = 12xy^2$. Zgadza się.

Ten sam jednomian można rozłożyć na iloczyn dwóch jednomianów na wiele sposobów. Na przykład $8a^4b^3$ to między innymi $2a^2b \cdot 4a^2b^2$, $8a^3 \cdot ab^3$, $-2a \cdot (-4a^3b^3)$ oraz $\frac{1}{2}a^4 \cdot 16b^3$. Wystarczy rozdzielić współczynnik na dwa czynniki, a wykładnik każdej litery – na dwie liczby, które się do niego dodają.

1. Uporządkuj $4 \cdot y \cdot 3 \cdot x \cdot y$. Liczby: $4 \cdot 3 = 12$. Litery: $x$ oraz $y \cdot y = y^2$. Wynik: $12xy^2$.

2. Pomnóż $3a^2 \cdot (-5a^4)$. Współczynniki: $3 \cdot (-5) = -15$. Litery: $a^2 \cdot a^4 = a^6$. Wynik: $-15a^6$.

3. Pomnóż $-2xy \cdot 6x^3$. Współczynniki: $-2 \cdot 6 = -12$. Litery: $x \cdot x^3 = x^4$ oraz $y$. Wynik: $-12x^4y$.

4. Wskaż współczynnik i część literową w $-\frac{3}{4}m^2n$. Współczynnik: $-\frac{3}{4}$, część literowa: $m^2n$.

5. Uporządkuj $\frac{1}{3}b^2 \cdot 6 \cdot (-b) \cdot (-2)$. Liczby: $\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot (-1) \cdot (-2) = 4$ (dwa minusy dają plus). Litery: $b^2 \cdot b = b^3$. Wynik: $4b^3$.

6. Zapisz w najprostszej postaci $\frac{15m \cdot (-3m)}{-5}$. Licznik: $15 \cdot (-3) = -45$ oraz $m \cdot m = m^2$, czyli $-45m^2$. Dzielimy: $\frac{-45m^2}{-5} = 9m^2$.

7. Szerokość prostokąta jest równa $x$, a długość jest 4 razy większa. Zapisz pole w postaci jednomianu.

Długość to $4x$, więc pole to $x \cdot 4x = 4x^2$. Dla $x=5$ pole wynosi $4 \cdot 25 = 100$.

• Uznawanie $3x$ i $3x^2$ za podobne – to nie są jednomiany podobne, wykładnik musi się zgadzać.
• Uznawanie $4x^2y$ i $4xy^2$ za podobne – te same litery to za mało, muszą się zgadzać także wykładniki.
• Mnożenie wykładników zamiast ich dodawania: $x^2 \cdot x^3 = x^5$, a nie $x^6$.
• Gubienie znaku minus przy współczynniku. Najbezpieczniej policzyć wszystkie minusy w iloczynie i sprawdzić, czy jest ich parzyście, czy nieparzyście.
• Zapominanie o niewidocznym współczynniku: w $-ab$ współczynnikiem jest $-1$, a nie $0$ ani $a$.
• Zostawianie zapisu $3 \cdot x \cdot 2 \cdot x$ jako odpowiedzi – dopóki liczby nie są wymnożone i litery nie są zebrane w potęgi, jednomian nie jest uporządkowany.

Jednomiany to cegiełki, z których zbudowane są wszystkie wyrażenia algebraiczne. Bez umiejętności rozpoznania jednomianów podobnych nie da się upraszczać wyrażeń – a upraszczanie jest w algebrze na porządku dziennym.