Wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty równej miary. Oba warunki muszą być spełnione naraz – romb ma równe boki, ale różne kąty i foremny nie jest; prostokąt ma równe kąty, ale różne boki – też nie jest.
Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego
Wielokąt o $n$ bokach można podzielić przekątnymi z jednego wierzchołka na $n – 2$ trójkąty. Stąd suma jego kątów wewnętrznych:
$$S = (n – 2) \cdot 180^\circ$$
W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc jeden kąt wewnętrzny wynosi:
$$\alpha = \frac{(n – 2) \cdot 180^\circ}{n}$$
| Wielokąt | $n$ | Suma kątów | Jeden kąt |
|---|---|---|---|
| trójkąt równoboczny | 3 | $180^\circ$ | $60^\circ$ |
| kwadrat | 4 | $360^\circ$ | $90^\circ$ |
| pięciokąt foremny | 5 | $540^\circ$ | $108^\circ$ |
| sześciokąt foremny | 6 | $720^\circ$ | $120^\circ$ |
| ośmiokąt foremny | 8 | $1080^\circ$ | $135^\circ$ |
Kąt środkowy
Wierzchołki wielokąta foremnego leżą na jednym okręgu. Łącząc środek okręgu z wierzchołkami, dzielimy figurę na $n$ przystających trójkątów równoramiennych. Kąt przy środku każdego z nich – kąt środkowy – wynosi:
$$\beta = \frac{360^\circ}{n}$$
Przykłady
1. Oblicz kąt wewnętrzny dziewięciokąta foremnego.
$\alpha = \frac{(9 – 2) \cdot 180^\circ}{9} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{9} = \frac{1260^\circ}{9} = 140^\circ$.
2. Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma $144^\circ$. Ile ma on boków?
Kąt środkowy to dopełnienie: $180^\circ – 144^\circ = 36^\circ$. Skoro $\frac{360^\circ}{n} = 36^\circ$, to $n = 10$. To dziesięciokąt foremny.
3. Ile przekątnych ma sześciokąt foremny?
Z każdego z 6 wierzchołków wychodzą przekątne do 3 wierzchołków (pomijamy sam wierzchołek i dwóch sąsiadów): $6 \cdot 3 = 18$, ale każdą przekątną policzyliśmy dwa razy. Odpowiedź: $18 : 2 = 9$ przekątnych.
4. Czy da się ułożyć posadzkę z samych pięciokątów foremnych?
Wokół jednego punktu musi zejść się $360^\circ$. Kąt pięciokąta foremnego to $108^\circ$, a $360^\circ : 108^\circ$ nie jest liczbą całkowitą ($3 \cdot 108^\circ = 324^\circ$, $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ$). Nie da się. Dla sześciokąta: $360^\circ : 120^\circ = 3$ – działa.
Typowe błędy
- Uznawanie rombu lub prostokąta za wielokąt foremny – potrzeba równych boków i równych kątów.
- Mylenie kąta wewnętrznego z kątem środkowym – one się uzupełniają do $180^\circ$, ale to inne kąty.
- Podstawianie do wzoru $n – 2$ zamiast $n$ w mianowniku.
Po co to się przydaje
Sześciokąty foremne to najoszczędniejszy sposób pokrycia płaszczyzny – stąd plaster miodu, siatki grafenowe i kostka brukowa. Wielokąty foremne widać w nakrętkach (sześciokąt), znakach drogowych (ośmiokąt „stop”) i mozaikach.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Figury geometryczne”.