Wielokąty foremne

Wielokąt o $n$ bokach można podzielić przekątnymi z jednego wierzchołka na $n-2$ trójkąty. Widać to na pięciokącie: dwie przekątne z wierzchołka $A$ dają trzy trójkąty, czyli $5-2 = 3$.

Kąty tych trójkątów układają się dokładnie w kąty wielokąta, więc suma kątów wewnętrznych wynosi:

$$S = (n-2) \cdot 180^\circ$$

W wielokącie foremnym wszystkie kąty są równe, więc jeden kąt wewnętrzny wynosi:

$$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$$

Uwaga na kolejność działań: najpierw $(n-2) \cdot 180^\circ$, dopiero potem dzielenie przez $n$. Dla $n = 5$: $(5-2) \cdot 180^\circ = 540^\circ$, a $540^\circ : 5 = 108^\circ$.

Z jednego wierzchołka wychodzi $n-3$ przekątnych (odpadają: sam wierzchołek i dwaj jego sąsiedzi). W pięciokącie są to $5-3 = 2$ przekątne, w sześciokącie $3$.

Wierzchołki wielokąta foremnego leżą na jednym okręgu. Łącząc środek okręgu z wierzchołkami, dzielimy figurę na $n$ przystających trójkątów równoramiennych. Kąt przy środku każdego z nich – kąt środkowy – wynosi:

$$\beta = \frac{360^\circ}{n}$$

Dlaczego to działa: kąty przy środku wypełniają cały kąt pełny, więc razem dają $360^\circ$, a jest ich $n$ i wszystkie są równe.

Ten sam podział daje drugi, często wygodniejszy sposób liczenia kąta wewnętrznego. Każdy z trójkątów jest równoramienny (jego ramiona to promienie okręgu), więc kąty przy jego podstawie są równe i mają po $(180^\circ-\beta) : 2$. Kąt wewnętrzny wielokąta składa się z dwóch takich kątów – po jednym z dwóch sąsiednich trójkątów. Stąd:

$$\alpha = 2 \cdot \frac{180^\circ-\beta}{2} = 180^\circ-\beta$$

Na rysunku: $\beta = 360^\circ : 5 = 72^\circ$, kąty przy podstawie to $(180^\circ-72^\circ) : 2 = 54^\circ$, a kąt wewnętrzny pięciokąta to $54^\circ + 54^\circ = 108^\circ$. Zgadza się z $180^\circ-72^\circ = 108^\circ$.

Wzór $\alpha = 180^\circ-\beta$ jest bardzo poręczny w zadaniach odwrotnych: jeśli znasz kąt wewnętrzny, od razu masz kąt środkowy, a z niego liczbę boków.

Szczególny jest sześciokąt foremny: dla niego $\beta = 60^\circ$, więc każdy z sześciu trójkątów ma trzy kąty po $60^\circ$ – jest równoboczny. Dlatego bok sześciokąta foremnego jest równy promieniowi okręgu opisanego i dlatego sześciokąt foremny tak łatwo narysować cyrklem: odkładasz promień sześć razy po okręgu.

Wokół każdego punktu posadzki kąty muszą zejść się dokładnie w kąt pełny, czyli $360^\circ$. Żeby ułożyć posadzkę z samych jednakowych wielokątów foremnych, miara ich kąta wewnętrznego musi więc mieścić się w $360^\circ$ całkowitą liczbę razy.

Sześciokąt foremny: $360^\circ : 120^\circ = 3$ – wokół punktu schodzą się trzy sześciokąty i nie zostaje żadna luka. Tak samo działa kwadrat ($360^\circ : 90^\circ = 4$) i trójkąt równoboczny ($360^\circ : 60^\circ = 6$).

Pięciokąt foremny: $3 \cdot 108^\circ = 324^\circ$, a do $360^\circ$ brakuje $36^\circ$ – za mało na czwarty pięciokąt. Posadzki z samych pięciokątów foremnych ułożyć się nie da.

1. Oblicz kąt wewnętrzny dziewięciokąta foremnego.

$\alpha = \frac{(9-2) \cdot 180^\circ}{9} = \frac{7 \cdot 180^\circ}{9} = \frac{1260^\circ}{9} = 140^\circ$. Szybciej przez kąt środkowy: $\beta = 360^\circ : 9 = 40^\circ$, więc $\alpha = 180^\circ-40^\circ = 140^\circ$.

2. Kąt wewnętrzny wielokąta foremnego ma $144^\circ$. Ile ma on boków?

Kąt środkowy to dopełnienie: $180^\circ-144^\circ = 36^\circ$. Skoro $\frac{360^\circ}{n} = 36^\circ$, to $n = 360 : 36 = 10$. To dziesięciokąt foremny.

3. Ile przekątnych ma sześciokąt foremny?

Z każdego z 6 wierzchołków wychodzą przekątne do 3 wierzchołków (pomijamy sam wierzchołek i dwóch sąsiadów): $6 \cdot 3 = 18$, ale każdą przekątną policzyliśmy dwa razy. Odpowiedź: $18 : 2 = 9$ przekątnych.

4. Czy da się ułożyć posadzkę z samych pięciokątów foremnych?

Wokół jednego punktu musi zejść się $360^\circ$. Kąt pięciokąta foremnego to $108^\circ$, a $360^\circ : 108^\circ$ nie jest liczbą całkowitą ($3 \cdot 108^\circ = 324^\circ$, $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ$). Nie da się. Dla sześciokąta: $360^\circ : 120^\circ = 3$ – działa.

5. Obwód sześciokąta foremnego wynosi 42 cm. Jaki promień ma okrąg opisany na tym sześciokącie?

Bok: $42 : 6 = 7$ cm. W sześciokącie foremnym bok jest równy promieniowi okręgu opisanego, więc $r = 7$ cm.

6. Suma kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wynosi $1440^\circ$. Ile ma on boków?

$(n-2) \cdot 180^\circ = 1440^\circ$, więc $n-2 = 1440 : 180 = 8$, czyli $n = 10$. Uwaga: tu wielokąt wcale nie musi być foremny – wzór na sumę kątów działa dla każdego wielokąta.

• Uznawanie rombu lub prostokąta za wielokąt foremny – potrzeba równych boków i równych kątów.
• Mylenie kąta wewnętrznego z kątem środkowym – one się uzupełniają do $180^\circ$, ale to inne kąty.
• Podstawianie do wzoru $n-2$ zamiast $n$ w mianowniku.
• Dzielenie $360^\circ$ przez $n$ w poszukiwaniu kąta wewnętrznego – tak liczy się kąt środkowy. Dla sześciokąta $360^\circ : 6 = 60^\circ$, a kąt wewnętrzny ma $120^\circ$.
• Mylenie sumy kątów z jednym kątem: w ośmiokącie foremnym suma to $1080^\circ$, a pojedynczy kąt $135^\circ$.

Sześciokąty foremne to najoszczędniejszy sposób pokrycia płaszczyzny – stąd plaster miodu, siatki grafenowe i kostka brukowa. Wielokąty foremne widać w nakrętkach (sześciokąt), znakach drogowych (ośmiokąt „stop”) i mozaikach.