Czworokąt to wielokąt o czterech bokach. Suma miar jego kątów wewnętrznych wynosi $360^\circ$ – łatwo to sprawdzić, dzieląc czworokąt przekątną na dwa trójkąty: $2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$.
Rodzina czworokątów
| Czworokąt | Definicja | Przekątne |
|---|---|---|
| trapez | ma co najmniej jedną parę boków równoległych | – |
| równoległobok | dwie pary boków równoległych | dzielą się na połowy |
| romb | równoległobok o wszystkich bokach równych | dzielą się na połowy i są prostopadłe |
| prostokąt | równoległobok o wszystkich kątach prostych | dzielą się na połowy i są równej długości |
| kwadrat | prostokąt o wszystkich bokach równych | wszystko powyższe naraz |
Zależności działają „w dół”: każdy kwadrat jest rombem i prostokątem, każdy romb i prostokąt jest równoległobokiem, a każdy równoległobok jest trapezem. W drugą stronę już nie – nie każdy romb jest kwadratem.
Własności równoległoboku
- Boki przeciwległe są równej długości.
- Kąty przeciwległe są równe.
- Kąty leżące przy tym samym boku sumują się do $180^\circ$.
- Przekątne przecinają się w połowie.
Działa to też odwrotnie: jeśli w czworokącie przekątne dzielą się na połowy, to jest on równoległobokiem. A jeśli dodatkowo są prostopadłe – rombem.
Przykłady
1. Trzy kąty czworokąta mają $95^\circ$, $78^\circ$ i $120^\circ$. Ile ma czwarty?
$360^\circ – 95^\circ – 78^\circ – 120^\circ = 67^\circ$.
2. W równoległoboku jeden kąt ma $63^\circ$. Podaj miary pozostałych.
Kąt przeciwległy też ma $63^\circ$. Dwa pozostałe: $180^\circ – 63^\circ = 117^\circ$ każdy. Sprawdzenie: $63 + 63 + 117 + 117 = 360$.
3. Obwód rombu wynosi 52 cm. Ile mierzy jego bok?
Romb ma cztery równe boki: $52 : 4 = 13$ cm.
4. W równoległoboku $ABCD$ przekątne mają długości 14 cm i 10 cm i przecinają się w punkcie $S$. Oblicz obwód trójkąta $ABS$, jeśli $AB = 9$ cm.
Przekątne dzielą się na połowy, więc $AS = 14 : 2 = 7$ cm, a $BS = 10 : 2 = 5$ cm. Obwód: $9 + 7 + 5 = 21$ cm.
Typowe błędy
- Mylenie kierunku zależności – „każdy kwadrat jest rombem” jest prawdą, „każdy romb jest kwadratem” już nie.
- Przypisywanie rombowi równych przekątnych – równe przekątne ma prostokąt, romb ma prostopadłe.
- Zapominanie, że kąty przy jednym boku równoległoboku dają razem $180^\circ$, a nie $90^\circ$.
Po co to się przydaje
Bez znajomości czworokątów nie policzysz ich pól – a to podstawa liczenia paneli, płytek czy powierzchni działki. Własność przekątnych rombu (prostopadłe, dzielą się na połowy) wykorzystują stolarze i montażyści do sprawdzania, czy rama jest ustawiona prosto: równe przekątne = prostokąt.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Figury geometryczne”.