Oś liczbowa to prosta, na której zaznaczono zwrot, punkt zerowy i jednostkę – dzięki temu każdej liczbie odpowiada dokładnie jeden punkt, a każdemu punktowi dokładnie jedna liczba. Liczby rosną w prawo, więc każda liczba leżąca bardziej na prawo jest większa.
Odległość liczb na osi
Odległość między dwiema liczbami obliczamy, odejmując liczbę mniejszą od większej. Wynik zawsze jest dodatni – odległość nie może być ujemna.
- Odległość $3$ i $8$ to $8 – 3 = 5$.
- Odległość $-4$ i $2$ to $2 – (-4) = 6$.
- Odległość $-9$ i $-1$ to $-1 – (-9) = 8$.
Szczególny przypadek to wartość bezwzględna, czyli odległość liczby od zera. Zapisujemy ją w prostych kreskach: $|{-7}| = 7$, $|5| = 5$, $|0| = 0$. Dwie liczby przeciwne leżą po przeciwnych stronach zera, ale w tej samej odległości – dlatego $|{-7}| = |7|$.
Porównywanie liczb ujemnych
| Zapis | Dlaczego |
|---|---|
| $-8 < -3$ | $-8$ leży dalej na lewo |
| $-1 < 0$ | każda liczba ujemna jest mniejsza od zera |
| $-2 < 1$ | ujemna zawsze mniejsza od dodatniej |
Uwaga na pułapkę: $-8$ ma większą wartość bezwzględną niż $-3$, ale jest liczbą mniejszą. Im głębiej w minus, tym mniej.
Rozwiązane przykłady
Przykład 1. Oblicz odległość liczb $-6$ i $2{,}5$ na osi liczbowej.
Od większej odejmujemy mniejszą: $2{,}5 – (-6) = 2{,}5 + 6 = 8{,}5$.
Przykład 2. Uporządkuj rosnąco: $-\frac{1}{2}$, $0{,}3$, $-2$, $\frac{3}{4}$.
Zamieniamy na dziesiętne: $-0{,}5$, $0{,}3$, $-2$, $0{,}75$. Kolejność rosnąca: $-2 < -\frac{1}{2} < 0{,}3 < \frac{3}{4}$.
Przykład 3. Jaka liczba leży dokładnie w środku między $-3$ a $7$?
Odległość wynosi $7 – (-3) = 10$, więc środek jest o $5$ w prawo od $-3$: $-3 + 5 = 2$.
Przykład 4. Znajdź wszystkie liczby całkowite $x$, dla których $|x| < 3$.
Szukamy liczb odległych od zera o mniej niż $3$: $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$. Liczby $3$ i $-3$ nie pasują, bo ich odległość od zera wynosi dokładnie $3$.
Typowe błędy
- Uznawanie, że $-10$ jest większe od $-2$, bo „dziesiątka jest większa od dwójki”.
- Podawanie ujemnej odległości – odległość zawsze wychodzi dodatnia.
- Mylenie wartości bezwzględnej z liczbą przeciwną: $|{-4}| = 4$, ale liczbą przeciwną do $4$ jest $-4$.
- Nierówne odstępy między punktami przy rysowaniu osi – jednostka musi być stała.
Po co to się przydaje
Oś liczbowa to najprostszy sposób, żeby zobaczyć liczby zamiast je sobie wyobrażać. Zaznaczenie warunku na osi zamienia abstrakcyjną nierówność w odcinek, który widać gołym okiem – i właśnie dlatego wraca w klasie ósmej przy rozwiązywaniu nierówności, a w liceum przy przedziałach liczbowych i wykresach funkcji.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Liczby i działania”.
Zadania
Zadanie 1
Przyjmij, że zero jest liczbą naturalną.
Zadanie 2
Zadanie 3
Zadanie 4
A. $8$
B. $15$
C. $22$
D. $28$
Zadanie 5
A. $0$ i $-7$
B. $-1$ i $-5$
C. $-3$ i $3$
D. $-4$ i $-6$
Zadanie 6
Każdy podpunkt wykonaj na osobnej osi.