Prawdopodobieństwo to liczba od 0 do 1 mówiąca, jaka jest szansa, że zdarzenie zajdzie. Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, liczymy je prostym ilorazem:
$$P = \frac{\text{liczba wyników sprzyjających}}{\text{liczba wszystkich możliwych wyników}}$$
Skala prawdopodobieństwa
| Wartość | Znaczenie |
|---|---|
| $P = 0$ | zdarzenie niemożliwe |
| $0 < P < \frac{1}{2}$ | mało prawdopodobne |
| $P = \frac{1}{2}$ | szansa pół na pół |
| $\frac{1}{2} < P < 1$ | bardziej prawdopodobne niż nie |
| $P = 1$ | zdarzenie pewne |
Prawdopodobieństwo nigdy nie wychodzi poza przedział od 0 do 1. Jeśli wyszło więcej niż 1, gdzieś jest błąd rachunkowy.
Zdarzenie przeciwne
Jeśli zdarzenie $A$ ma prawdopodobieństwo $P(A)$, to zdarzenie „$A$ nie zajdzie” ma prawdopodobieństwo:
$$P(A’) = 1 – P(A)$$
To bardzo przydatny skrót. Czasem łatwiej policzyć, kiedy coś nie zajdzie, i odjąć wynik od jedynki.
Doświadczenia dwuetapowe
Gdy rzucamy dwa razy albo losujemy dwa razy, wszystkie możliwe wyniki wypisujemy systematycznie – w tabeli lub jako listę par. Rzut dwiema monetami daje 4 wyniki: OO, OR, RO, RR. Rzut monetą i kostką: $2 \cdot 6 = 12$ wyników.
Przykłady
1. Rzucamy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej?
Wyniki sprzyjające: 2, 4, 6 – trzy. Wszystkich: 6. $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
2. W loterii jest 30 losów, w tym 4 wygrywające. Jakie jest prawdopodobieństwo kupienia losu przegrywającego?
Sposób 1: przegrywających jest $30 – 4 = 26$, więc $P = \frac{26}{30} = \frac{13}{15}$. Sposób 2 (zdarzenie przeciwne): $1 – \frac{4}{30} = \frac{26}{30}$. Ten sam wynik.
3. Rzucamy monetą i kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo orła i szóstki?
Wszystkich wyników: $2 \cdot 6 = 12$. Sprzyjający jest tylko jeden. $P = \frac{1}{12}$.
4. W worku jest 5 kul czerwonych i 3 niebieskie. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej?
Kul razem: $5 + 3 = 8$. Sprzyjających: 3. $P = \frac{3}{8}$.
Typowe błędy
- Zapominanie o policzeniu wszystkich możliwych wyników – w rzucie dwiema monetami są cztery, nie trzy (OR i RO to różne wyniki).
- Podawanie prawdopodobieństwa większego niż 1.
- Mylenie liczby wyników sprzyjających z prawdopodobieństwem – to iloraz, nie sama liczba.
- Zakładanie, że skoro coś się długo nie wydarzyło, to teraz „musi” wypaść – kostka nie ma pamięci.
Po co to się przydaje
Prognoza pogody, ubezpieczenia, gry, testy medyczne – wszędzie tam liczy się szanse. Rozumienie prawdopodobieństwa chroni też przed hazardem: w każdej loterii oczekiwana wygrana jest mniejsza od ceny losu, i da się to policzyć.
Zgodne z: Matematyka z Plusem (klasa 7), dział „Statystyka i prawdopodobieństwo”.