Obliczenia w notacji wykładniczej

Potęga o wykładniku ujemnym to odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim:

$$10^{-n} = \frac{1}{10^n}$$

Stąd $10^{-1} = \frac{1}{10} = 0{,}1$, $\ 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$, $\ 10^{-3} = 0{,}001$, $\ 10^{-6} = 0{,}000001$. Reguła, którą warto zapamiętać: $10^{-n}$ to zero, przecinek, $n-1$ zer i jedynka. Mnożenie przez $10^{-n}$ jest tym samym, co dzielenie przez $10^n$, czyli przesunięcie przecinka o $n$ miejsc w lewo.

Postępujemy dokładnie tak jak przy dużych liczbach, tylko przecinek wędruje w drugą stronę:

1. Przesuwamy przecinek w prawo, aż przed nim stanie jedna cyfra różna od zera.
2. Liczymy, o ile miejsc go przesunęliśmy — to liczba $n$.
3. Wykładnik jest ujemny: liczba równa się $a \cdot 10^{-n}$.

Przykład: $0{,}0000576$. Przecinek stawiam za piątką: $5{,}76$. Od pierwotnego miejsca do nowego jest 5 skoków, więc $0{,}0000576 = 5{,}76 \cdot 10^{-5}$.

Szybki sposób na wykładnik. Policz cyfry od przecinka do pierwszej cyfry różnej od zera włącznie — tyle wynosi wykładnik ze znakiem minus.

• $0{,}0000943 = 9{,}43 \cdot 10^{-5}$ (przed dziewiątką są cztery zera, więc razem 5 cyfr)
• $0{,}00206 = 2{,}06 \cdot 10^{-3}$
• $0{,}0000007 = 7 \cdot 10^{-7}$
• $0{,}082 = 8{,}2 \cdot 10^{-2}$
• $0{,}00000000004 = 4 \cdot 10^{-11}$

Tak zapisuje się rozmiary świata, którego nie widać gołym okiem:

Porównywanie. Nadal decyduje wykładnik — trzeba tylko pamiętać, że wśród liczb ujemnych większy jest ten bliższy zera. Skoro $-5 \gt -7$, to $3 \cdot 10^{-5} \gt 9 \cdot 10^{-7}$. Im bardziej ujemny wykładnik, tym mniejsza liczba.

Przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc, ile wynosi wykładnik (bez znaku minus), dopisując po drodze zera.

• $9 \cdot 10^{-2} = 0{,}09$
• $3{,}6 \cdot 10^{-3} = 0{,}0036$
• $5 \cdot 10^{-5} = 0{,}00005$
• $1{,}05 \cdot 10^{-4} = 0{,}000105$

$$(a \cdot 10^m) \cdot (b \cdot 10^n) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}$$

Krok po kroku, na przykładzie $(2 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^5)$:

1. Pierwsze czynniki: $2 \cdot 4 = 8$.
2. Potęgi dziesiątki: wykładniki dodajemy, $10^3 \cdot 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$.
3. Sklejamy: $8 \cdot 10^8$.
4. Sprawdzamy zapis: $1 \le 8 \lt 10$, więc gotowe.

Przy wykładnikach ujemnych nic się nie zmienia — dodajemy je tak, jak dodaje się liczby ujemne: $(3 \cdot 10^{-4}) \cdot (2 \cdot 10^{-3}) = 6 \cdot 10^{-4 + (-3)} = 6 \cdot 10^{-7}$, a $(5 \cdot 10^{-6}) \cdot (2 \cdot 10^{9}) = 10 \cdot 10^{3} = 1 \cdot 10^{4}$.

$$\frac{a \cdot 10^m}{b \cdot 10^n} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m-n}$$

Przykład: $\frac{8 \cdot 10^7}{2 \cdot 10^3} = 4 \cdot 10^{7-3} = 4 \cdot 10^4$.

Odejmowanie wykładników ujemnych to najczęstsze miejsce na pomyłkę, dlatego warto je rozpisać: $\frac{2{,}5 \cdot 10^{-5}}{8 \cdot 10^{-10}} = 0{,}3125 \cdot 10^{-5-(-10)} = 0{,}3125 \cdot 10^{5} = 3{,}125 \cdot 10^{4}$. Minus przed nawiasem zamienia $-10$ na $+10$.

Czasem po wymnożeniu pierwszy czynnik wypada poza zakres od 1 do 10. Wtedy trzeba go poprawić:

$$(5 \cdot 10^4) \cdot (4 \cdot 10^3) = 20 \cdot 10^7 = 2 \cdot 10^1 \cdot 10^7 = 2 \cdot 10^8$$

To samo przy dzieleniu, gdy iloraz wyjdzie mniejszy od 1:

$$\frac{2 \cdot 10^5}{4 \cdot 10^2} = 0{,}5 \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^{-1} \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^2$$

Ta sama poprawka przydaje się przy liczbach małych — tam wykładnik też zmienia się o tyle, o ile przesunęliśmy przecinek:

• $0{,}52 \cdot 10^{-6} = 5{,}2 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-6} = 5{,}2 \cdot 10^{-7}$
• $0{,}04 \cdot 10^{-5} = 4 \cdot 10^{-2} \cdot 10^{-5} = 4 \cdot 10^{-7}$
• $23{,}5 \cdot 10^{-11} = 2{,}35 \cdot 10^{1} \cdot 10^{-11} = 2{,}35 \cdot 10^{-10}$

Tu wzory nie działają w ten sposób. Żeby dodać liczby w notacji wykładniczej, trzeba najpierw sprowadzić je do tej samej potęgi dziesiątki:

$$3 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^4 = 3 \cdot 10^5 + 0{,}2 \cdot 10^5 = 3{,}2 \cdot 10^5$$

Gdy potęgi są już równe, po prostu dodajemy pierwsze czynniki: $4 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^6 = 7 \cdot 10^6$.

Praktyczna rada: przerabiaj zawsze tę liczbę, która ma mniejszy wykładnik, i sprowadzaj ją do wykładnika większego. Wtedy pierwszy czynnik robi się mniejszy od 1 i łatwo go dopasować:

• $8 \cdot 10^{7} + 3{,}5 \cdot 10^{6} = 8 \cdot 10^{7} + 0{,}35 \cdot 10^{7} = 8{,}35 \cdot 10^{7}$
• $4{,}6 \cdot 10^{-4}-2{,}9 \cdot 10^{-5} = 4{,}6 \cdot 10^{-4}-0{,}29 \cdot 10^{-4} = 4{,}31 \cdot 10^{-4}$ — tu większym wykładnikiem jest $-4$
• $1{,}5 \cdot 10^{13}-8{,}4 \cdot 10^{12} = 15 \cdot 10^{12}-8{,}4 \cdot 10^{12} = 6{,}6 \cdot 10^{12}$ — czasem wygodniej odwrotnie, byle potęgi się zgadzały

Przy zamianie na jednostkę większą liczba maleje, więc mnożymy przez potęgę dziesiątki o wykładniku ujemnym:

Przykłady: $274$ mm $= 274 \cdot 10^{-3}$ m $= 2{,}74 \cdot 10^{2} \cdot 10^{-3}$ m $= 2{,}74 \cdot 10^{-1}$ m. Podobnie $720$ g $= 720 \cdot 10^{-6}$ t $= 7{,}2 \cdot 10^{2} \cdot 10^{-6}$ t $= 7{,}2 \cdot 10^{-4}$ t.

Z jednostkami kwadratowymi jest inaczej i to jest częsta pułapka. Skoro $1$ m $= 10$ dm, to kwadrat o boku 1 m dzieli się na $10 \cdot 10 = 100$ kwadracików o boku 1 dm:

Dlatego przy jednostkach pola wykładnik się podwaja: $1$ dm$^2 = 10^{-2}$ m$^2$, $\ 1$ cm$^2 = 10^{-4}$ m$^2$, $\ 1$ mm$^2 = 10^{-6}$ m$^2$, $\ 1$ m$^2 = 10^{-6}$ km$^2$. Ta sama reguła działa w drugą stronę: $1$ km$^2 = 10^6$ m$^2$.

Przykład 1. Oblicz $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^6)$.

$3 \cdot 2 = 6$, a $10^4 \cdot 10^6 = 10^{10}$. Wynik: $6 \cdot 10^{10}$.

Przykład 2. Oblicz $(4 \cdot 10^5) \cdot (5 \cdot 10^3)$.

$4 \cdot 5 = 20$, więc $20 \cdot 10^8$. Poprawiam: $2 \cdot 10^9$.

Przykład 3. Oblicz $\frac{9 \cdot 10^{12}}{3 \cdot 10^8}$.

$9 : 3 = 3$, a $10^{12} : 10^8 = 10^4$. Wynik: $3 \cdot 10^4$.

Przykład 4. Oblicz $5 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^5$.

Sprowadzam do wspólnej potęgi: $3 \cdot 10^5 = 0{,}3 \cdot 10^6$. Zatem $5 \cdot 10^6 + 0{,}3 \cdot 10^6 = 5{,}3 \cdot 10^6$.

Przykład 5. Zapisz w notacji wykładniczej grubość kartki papieru: $0{,}00008$ m.

Przecinek przesuwam o 5 miejsc w prawo, żeby przed nim stanęła ósemka: $0{,}00008 = 8 \cdot 10^{-5}$ m.

Przykład 6. Ile razy ziarnko piasku o masie $2{,}5 \cdot 10^{-5}$ kg jest cięższe od ziarna pyłku o masie $8 \cdot 10^{-10}$ kg?

Dzielę: $\frac{2{,}5 \cdot 10^{-5}}{8 \cdot 10^{-10}} = 0{,}3125 \cdot 10^{-5+10} = 0{,}3125 \cdot 10^5 = 3{,}125 \cdot 10^4$. Ziarnko piasku jest cięższe około $3{,}125 \cdot 10^4$ razy, czyli ponad 31 tysięcy razy.

Przykład 7. Ekran składa się z dwóch warstw folii po $1{,}2 \cdot 10^{-4}$ m i warstwy kleju $3 \cdot 10^{-5}$ m. Jaka jest jego grubość?

Najpierw dwie folie: $2 \cdot 1{,}2 \cdot 10^{-4} = 2{,}4 \cdot 10^{-4}$ m. Teraz dodaję klej, sprowadzając go do wykładnika $-4$: $3 \cdot 10^{-5} = 0{,}3 \cdot 10^{-4}$. Razem $2{,}4 \cdot 10^{-4} + 0{,}3 \cdot 10^{-4} = 2{,}7 \cdot 10^{-4}$ m.

• Dodawanie wykładników przy dodawaniu liczb. To działa tylko przy mnożeniu.
• Zostawianie wyniku w postaci $35 \cdot 10^4$ zamiast poprawić na $3{,}5 \cdot 10^5$.
• Dodawanie liczb o różnych potęgach dziesiątki bez sprowadzenia do wspólnej.
• Gubienie znaku przy odejmowaniu ujemnych wykładników: $10^{-5} : 10^{-10} = 10^{-5+10} = 10^{5}$, a nie $10^{-15}$.
• Uznawanie, że $10^{-8} \gt 10^{-3}$, bo „8 jest większe od 3”. Jest odwrotnie — $10^{-8}$ jest mniejsze.
• Przenoszenie reguły z jednostek długości na jednostki pola. $1$ cm$^2$ to $10^{-4}$ m$^2$, a nie $10^{-2}$ m$^2$.

Żeby policzyć, ile razy Słońce jest cięższe od Ziemi, albo ile atomów mieści się w kropli wody, trzeba mnożyć i dzielić liczby z dwudziestoma zerami. Bez notacji wykładniczej byłoby to niewykonalne.