Obliczenia w notacji wykładniczej

$$(a \cdot 10^m) \cdot (b \cdot 10^n) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}$$

Przykład: $(2 \cdot 10^3) \cdot (4 \cdot 10^5) = 8 \cdot 10^8$. Pierwsze czynniki pomnożone, wykładniki dodane.

$$\frac{a \cdot 10^m}{b \cdot 10^n} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m-n}$$

Przykład: $\frac{8 \cdot 10^7}{2 \cdot 10^3} = 4 \cdot 10^4$.

Czasem po wymnożeniu pierwszy czynnik wypada poza zakres od 1 do 10. Wtedy trzeba go poprawić:

$$(5 \cdot 10^4) \cdot (4 \cdot 10^3) = 20 \cdot 10^7 = 2 \cdot 10^1 \cdot 10^7 = 2 \cdot 10^8$$

To samo przy dzieleniu, gdy iloraz wyjdzie mniejszy od 1:

$$\frac{2 \cdot 10^5}{4 \cdot 10^2} = 0{,}5 \cdot 10^3 = 5 \cdot 10^2$$

Tu wzory nie działają w ten sposób. Żeby dodać liczby w notacji wykładniczej, trzeba najpierw sprowadzić je do tej samej potęgi dziesiątki:

$$3 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^4 = 3 \cdot 10^5 + 0{,}2 \cdot 10^5 = 3{,}2 \cdot 10^5$$

Gdy potęgi są już równe, po prostu dodajemy pierwsze czynniki: $4 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^6 = 7 \cdot 10^6$.

Przykład 1. Oblicz $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^6)$.

$3 \cdot 2 = 6$, a $10^4 \cdot 10^6 = 10^{10}$. Wynik: $6 \cdot 10^{10}$.

Przykład 2. Oblicz $(4 \cdot 10^5) \cdot (5 \cdot 10^3)$.

$4 \cdot 5 = 20$, więc $20 \cdot 10^8$. Poprawiam: $2 \cdot 10^9$.

Przykład 3. Oblicz $\frac{9 \cdot 10^{12}}{3 \cdot 10^8}$.

$9 : 3 = 3$, a $10^{12} : 10^8 = 10^4$. Wynik: $3 \cdot 10^4$.

Przykład 4. Oblicz $5 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^5$.

Sprowadzam do wspólnej potęgi: $3 \cdot 10^5 = 0{,}3 \cdot 10^6$. Zatem $5 \cdot 10^6 + 0{,}3 \cdot 10^6 = 5{,}3 \cdot 10^6$.

• Dodawanie wykładników przy dodawaniu liczb. To działa tylko przy mnożeniu.
• Zostawianie wyniku w postaci $35 \cdot 10^4$ zamiast poprawić na $3{,}5 \cdot 10^5$.
• Dodawanie liczb o różnych potęgach dziesiątki bez sprowadzenia do wspólnej.

Żeby policzyć, ile razy Słońce jest cięższe od Ziemi, albo ile atomów mieści się w kropli wody, trzeba mnożyć i dzielić liczby z dwudziestoma zerami. Bez notacji wykładniczej byłoby to niewykonalne.