Notacja wykładnicza to zapis liczby w postaci $a \cdot 10^n$, gdzie $a$ jest liczbą od 1 do 10 (może być równe 1, ale musi być mniejsze od 10), a $n$ jest liczbą całkowitą.
Po co ona istnieje
Masa Ziemi to w przybliżeniu $5\,970\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ kg. Trudno to przeczytać, jeszcze trudniej policzyć cokolwiek z taką liczbą. W notacji wykładniczej: $5{,}97 \cdot 10^{24}$ kg. Krótko, czytelnie, wygodnie w rachunkach.
Jak zapisać liczbę w notacji wykładniczej
Przesuwamy przecinek tak, by przed nim została dokładnie jedna cyfra różna od zera. Liczba przesunięć to wykładnik:
- $360\,000 = 3{,}6 \cdot 10^5$ – przecinek przesunięty o 5 miejsc w lewo
- $8200 = 8{,}2 \cdot 10^3$
- $45 = 4{,}5 \cdot 10^1$
- $7 = 7 \cdot 10^0$
Sprawdzenie warunku
Pierwszy czynnik musi spełniać $1 \leq a < 10$. To odróżnia notację wykładniczą od zwykłego zapisu z potęgą:
| Zapis | Czy to notacja wykładnicza? |
|---|---|
| $3{,}6 \cdot 10^5$ | Tak – bo $1 \leq 3{,}6 < 10$ |
| $36 \cdot 10^4$ | Nie – bo $36 > 10$ |
| $0{,}36 \cdot 10^6$ | Nie – bo $0{,}36 < 1$ |
Wszystkie trzy zapisy oznaczają tę samą liczbę $360\,000$, ale tylko pierwszy jest notacją wykładniczą.
Poprawianie zapisu
Gdy pierwszy czynnik wypadnie poza zakres, poprawiamy go, zmieniając wykładnik:
$$36 \cdot 10^4 = 3{,}6 \cdot 10^1 \cdot 10^4 = 3{,}6 \cdot 10^5$$
$$0{,}5 \cdot 10^8 = 5 \cdot 10^{-1} \cdot 10^8 = 5 \cdot 10^7$$
Rozwiązane przykłady
Przykład 1. Zapisz w notacji wykładniczej: $52\,000$.
Przecinek za piątką: $5{,}2$. Przesunąłem go o 4 miejsca, więc $5{,}2 \cdot 10^4$.
Przykład 2. Zapisz w notacji wykładniczej: $1\,000\,000$.
$1 \cdot 10^6$. Pierwszy czynnik może być równy 1.
Przykład 3. Zapisz zwykłą liczbą: $2{,}4 \cdot 10^5$.
Przesuwam przecinek o 5 miejsc w prawo, dopisując zera: $240\,000$.
Przykład 4. Czy zapis $12{,}5 \cdot 10^3$ jest notacją wykładniczą? Popraw go.
Nie jest, bo $12{,}5 > 10$. Poprawiam: $12{,}5 \cdot 10^3 = 1{,}25 \cdot 10^1 \cdot 10^3 = 1{,}25 \cdot 10^4$.
Typowe błędy
- Zostawianie pierwszego czynnika większego od 10 lub mniejszego od 1.
- Mylenie kierunku przesuwania przecinka – przy zapisie liczby dużej wykładnik jest dodatni.
- Zapominanie o zerach przy powrocie do zwykłego zapisu.
Po co to się przydaje
Notacja wykładnicza to język astronomii, fizyki cząstek i informatyki. Odległość do Słońca ($1{,}5 \cdot 10^{11}$ m), liczba komórek w ciele człowieka ($3 \cdot 10^{13}$), rozmiar atomu – wszystko to zapisujemy właśnie tak.
Zgodne z: Matematyka z Plusem i Matematyka z kluczem (klasa 7), dział „Potęgi i pierwiastki”.