Funkcja – definicja, dziedzina, zbiór wartości

Przejdź do zadań

Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi z ustalonej dziedziny dokładnie jedną wartość. Zapis $f:D\to Y$ informuje, że argumenty pochodzą ze zbioru $D$, a wartości są rozpatrywane w zbiorze $Y$. Dla argumentu $x\in D$ odpowiadającą mu wartość zapisujemy jako $f(x)$.

Teoria: 7 sekcji, kliknij nagłówek, aby rozwinąć

Co decyduje o tym, że zależność jest funkcją

Najważniejsze jest słowo „dokładnie”. Każdy element dziedziny musi mieć przypisaną wartość i nie może mieć dwóch różnych wartości. Różne argumenty mogą natomiast prowadzić do tej samej wartości. Zależność „liczbie przyporządkuj jej kwadrat” jest funkcją, bo dla każdego $x$ otrzymujemy jedno $x^2$. Zależność „dodatniej liczbie przyporządkuj liczby, których kwadrat jest jej równy” nie jest funkcją do zbioru liczb rzeczywistych, bo na przykład liczbie $9$ odpowiadają $3$ i $-3$.

Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości

Dziedzina to zbiór dopuszczalnych argumentów. Przeciwdziedzina jest zbiorem, w którym mają się znajdować wartości funkcji. Zbiór wartości to te elementy przeciwdziedziny, które funkcja rzeczywiście przyjmuje. Dla $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, przeciwdziedziną jest $\mathbb{R}$, ale zbiorem wartości jest $[0;\infty)$.

Sposoby opisywania funkcji

Sposób Co pokazuje
wzór regułę obliczania, na przykład $f(x)=2x-3$
tabela wybrane pary $(x,f(x))$
graf lub opis słowny przyporządkowanie między obiektami
wykres zbiór punktów $(x,f(x))$ w układzie współrzędnych

Ten sam obiekt można opisać na kilka sposobów. Zmiana opisu nie zmienia funkcji, o ile zachowuje dziedzinę i przyporządkowanie.

Rozwiązane przykłady

  1. Dla $f(x)=\frac{1}{x-2}$ dziedziną jest $\mathbb{R}\setminus\{2\}$, ponieważ mianownik nie może być zerem.
  2. Dla $g(x)=\sqrt{x+4}$ wymagamy $x+4\ge 0$, więc $D_g=[-4;\infty)$.
  3. Przyporządkowanie uczniowi jego numeru w dzienniku jest funkcją, jeśli każdy uczeń ma dokładnie jeden numer.
  4. Zbiór punktów $\{(-1,2),(0{,}3),(2,2)\}$ opisuje funkcję. Zbiór $\{(-1,2),(-1,4)\}$ nie opisuje funkcji, bo argument $-1$ ma dwie wartości.

Jak sprawdzić wykres

Stosujemy test pionowej prostej. Jeżeli każda prosta równoległa do osi $OY$ przecina rozważany wykres najwyżej raz, wykres może przedstawiać funkcję. Okrąg nie jest wykresem funkcji $y=f(x)$ na całym swoim rzucie na oś $OX$, bo dla wielu wartości $x$ ma dwa punkty o różnych współrzędnych $y$.

Typowe błędy

  • Mylenie wartości $f(x)$ z argumentem $x$.
  • Pomijanie dziedziny zapisanej w treści albo wynikającej ze wzoru.
  • Uznawanie, że dwóm argumentom nie wolno przypisać tej samej wartości.
  • Odczytywanie zbioru wartości jako całej przeciwdziedziny.

Po co to się przydaje

Język funkcji opisuje zależności między wielkościami: cenę od liczby produktów, drogę od czasu, temperaturę od godziny lub pole figury od jej wymiaru. Pozwala też precyzyjnie określić, dla jakich danych model ma sens.

Zadania

Zadanie 1

Funkcję $f: \{-2, -1, 0, 1, 2\} \to \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ przedstawiono za pomocą tabeli. Przedstaw tę funkcję za pomocą grafu i podaj jej miejsca zerowe.

a) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 3 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ \hline \end{array}$
b) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$
c) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 \\ \hline \end{array}$
d) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 0 & 3 & 2 & 3 & 0 \\ \hline \end{array}$
e) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$
f) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array}$
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 2

Funkcja $f$ każdej trzycyfrowej liczbie naturalnej przyporządkowuje iloczyn jej cyfr, np. $f(312) = 6$.

a) Ile miejsc zerowych ma funkcja $f$?
b) Dla ilu argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartość 12?
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 3

Funkcja $f$ została podana w postaci tabeli. Określ jej dziedzinę, a następnie przedstaw tę funkcję za pomocą grafu oraz opisu słownego. Dla ilu argumentów przyjmuje ona wartości dodatnie?

a) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline \end{array}$
b) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 \\ \hline \end{array}$
c) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline f(x) & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ \hline \end{array}$
d) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & -1 & 2 & 3 & 2 & -1 \\ \hline \end{array}$
e) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline f(x) & 8 & 6 & 4 & 2 & 0 & -2 \\ \hline \end{array}$
f) $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 1 & 0 & -1 & -2 & -1 & 0 \\ \hline \end{array}$
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 4

Funkcję $f: X \to Y$ przedstawiono w postaci grafu. Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli i podaj jej miejsca zerowe.

a) Rysunek do zadaniaGraf funkcji f: −2 → 1, −1 → 0, 0 → 2, 1 → 0, 2 → −1−2−1012−2−1012XYf
b) Rysunek do zadaniaGraf funkcji f: 1 → 2, 2 → 2, 3 → 2, 4 → 2123401234XYf
c) Rysunek do zadaniaGraf funkcji f: −1 → 0, 0 → −1, 1 → 0, 2 → 1, 3 → 2−10123−1012XYf
d) Rysunek do zadaniaGraf funkcji f: 0 → 3, 1 → 2, 2 → 1, 3 → 001230123XYf
e) Rysunek do zadaniaGraf funkcji f: −2 → 1, 0 → 0, 2 → 1, 4 → 0−2024−101XYf
f) Rysunek do zadaniaGraf funkcji f: 1 → 1, 2 → 0, 3 → 1, 4 → 0, 5 → 11234501XYf
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 5

Funkcja $f$ każdej trzycyfrowej liczbie naturalnej przyporządkowuje sumę jej cyfr, np. $f(152) = 8$.

a) Podaj wszystkie wartości, które może przyjmować funkcja $f$.
b) Dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartość 1, a dla jakich 4?
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 6

Funkcja $f$ każdej liczbie ze zbioru $X = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ przyporządkowuje jej kwadrat pomniejszony o 9. Dla których argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne? Czy ma ona miejsca zerowe?

💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 7

Funkcja $f$ każdej dwucyfrowej liczbie naturalnej przyporządkowuje jej resztę z dzielenia przez $n$. Ile miejsc zerowych ma funkcja $f$?

a) $n = 3$
b) $n = 6$
c) $n = 7$
d) $n = 9$
e) $n = 11$
f) $n = 20$
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 8

Funkcja $f$ każdej dwucyfrowej liczbie naturalnej przyporządkowuje sumę jej cyfr, np. $f(37) = 10$.

a) Podaj wszystkie wartości, które może przyjmować funkcja $f$.
b) Dla jakich argumentów funkcja $f$ przyjmuje wartość 5, a dla jakich 8?
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 9

Funkcja $f$ została podana w postaci tabeli. Przedstaw ją za pomocą grafu oraz opisu słownego. Dla ilu argumentów przyjmuje ona wartości nieparzyste?

a) $f: \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}$
b) $f: \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} \to \{1, 2, 3, 4\}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 4 & 3 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \end{array}$
c) $f: \{-2, -1, 0, 1, 2\} \to \{-4, -2, 0, 2, 4\}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & -4 & -2 & 0 & 2 & 4 \\ \hline \end{array}$
d) $f: \{-2, -1, 0, 1, 2\} \to \{0, 1, 4\}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 \\ \hline \end{array}$
e) $f: \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \to \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline f(x) & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ \hline \end{array}$
f) $f: \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} \to \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 3 & 2 & 1 & 0 & -1 & -2 \\ \hline \end{array}$
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Zadanie 10

Dane są zbiory $X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ oraz $Y = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$. Funkcja $f: X \to Y$ każdemu argumentowi przyporządkowuje jego kwadrat pomniejszony o 1.

a) Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli i grafu.
b) Które elementy zbioru $Y$ nie są wartościami funkcji $f$? Które wartości są przyjmowane dla więcej niż jednego argumentu?
💡 Pokaż podpowiedź

Wpisz swój adres e-mail, żeby odblokować tę treść

Klucze odpowiedzi, karta pracy bez limitu i pliki PDF. Wyślemy link potwierdzający, klikniesz i materiały się odblokują.

Bez spamu. Wypisanie jednym kliknięciem w każdej wiadomości.

Moja karta pracy (0)
Przewijanie do góry