Liczby całkowite i działania na nich

Liczbą przeciwną do $a$ jest $-a$. Ich suma wynosi zero: $a+(-a)=0$. Znak minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich składników w nawiasie. Odległość liczby $a$ od zera opisuje wartość bezwzględna $|a|$. Zawsze $|a|\ge0$, a $|a|=0$ tylko dla $a=0$.

Zbiór $\mathbb{Z}$ jest zamknięty na dodawanie, odejmowanie i mnożenie: wynik tych działań dla liczb całkowitych jest całkowity. Nie jest zamknięty na dzielenie, bo na przykład $3:2=\frac32\notin\mathbb{Z}$. Przy mnożeniu i dzieleniu dwóch liczb o jednakowych znakach wynik jest dodatni, a przy różnych znakach ujemny.

Porównując liczby ujemne, większa jest ta położona bliżej zera. Przy obliczeniach wielodziałaniowych najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem potęgowanie, mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

1. $-18-(-7)+5=-18+7+5=-6$.
2. $-4\cdot(6-9)=-4\cdot(-3)=12$.
3. Rozwiązujemy $5x-13=-38$: $5x=-25$, więc $x=-5$.
4. Odległość liczb $-9$ i $4$ na osi wynosi $|4-(-9)|=13$.

• Traktowanie podwójnego minusa jako minusa zamiast plusa.
• Porównywanie liczb ujemnych tylko na podstawie wartości cyfr.
• Zapisywanie $-3^2=9$. Bez nawiasu najpierw liczymy potęgę, więc $-3^2=-(3^2)=-9$, natomiast $(-3)^2=9$.
• Zakładanie, że iloraz dwóch liczb całkowitych musi być całkowity.

Liczby całkowite opisują temperatury poniżej zera, piętra podziemne, saldo, zmianę wysokości i kierunek ruchu. Są też naturalnym językiem dowodów dotyczących parzystości, podzielności oraz reszt z dzielenia.

W zadaniach praktycznych warto najpierw ustalić punkt odniesienia i kierunek dodatni. Wpłatę można zapisać jako liczbę dodatnią, a wypłatę jako ujemną; ruch w górę jako dodatni, a w dół jako ujemny. Suma kolejnych zmian daje położenie końcowe. Jeśli porządkujemy kilka liczb całkowitych, pomocne jest zaznaczenie ich na osi lub porównanie odległości od zera. Dla liczb ujemnych większa wartość bezwzględna oznacza mniejszą liczbę, na przykład $|-12|>|-5|$, ale $-12<-5$.

Liczby całkowite leżą na osi w równych odstępach: im dalej w prawo, tym liczba większa. Liczba przeciwna do danej
leży po drugiej stronie zera, w tej samej odległości od niego.

Punkt $A$ odpowiada liczbie $-4$, a punkt $B$ liczbie $4$. Obie leżą w odległości $4$ od zera, więc
$|-4| = |4| = 4$. Stąd bierze się prosta wskazówka: wartość bezwzględna to odległość od zera, a nie „liczba bez minusa
w zapisie” (dla wyrażenia $|a – 7|$ wynik zależy od tego, czy $a$ jest większe, czy mniejsze od $7$).

Znak iloczynu i ilorazu zależy tylko od liczby minusów: parzysta liczba minusów daje wynik dodatni, nieparzysta ujemny.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{znaki czynników} & \text{iloczyn} & \text{iloraz} \\ \hline
+ \; \text{i} \; + & + & + \\ \hline
+ \; \text{i} \; – & – & – \\ \hline
– \; \text{i} \; – & + & + \\ \hline
\end{array}$$

W dodawaniu i odejmowaniu tej reguły nie ma: tam patrzymy, która wartość bezwzględna jest większa. Dlatego
$-5 \cdot (-3) = 15$, ale $-5 + (-3) = -8$.